Испытания и события. Виды событий

 

В любой точной науке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость, то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.

Испытание(опыт)-осуществление какого-либо комплекса условий.

Испытанием будет являться бросание игральной кости.

Событие(исход)-результат испытания.

События могут быть достоверными, невозможными, случайными.

Достоверное событие-событие, кот. обязательно произойдет в результате данного испытания. . Например, при бросании игральной кости выпало число от 1 до 6.

Невозможное событие-событие, кот. не может произойти в результате данного испытания. Например, , при бросании

игральной кости выпало 7 очков.

Случайное событие-событие, кот. может произойти, а может не произойти в результате данного испытания. А,В,С,… Например, выпало 6 очков при бросании кости.

Виды случайных событий

Случайные события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого. В противном случае - несовместние.

А - в аудиторию вошел мужчина, В - в аудиторию вошел человек старше 30 лет. А и В - совместные

Стрелок произвел выстрел по цели. А - попадание, В - промах; А и В - несовместные.

Случайное событие называется единственно возможным, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. Бросают монету. А - герб, В - надпись.

Случайные события называются равновозможными, если в результате испытания нет оснований считать, что одно из них более возможно, чем другое.

Случайные события называются противоположными, если не появление одного из них влечет появление другого. А,

Совокупность всех единственно возможных событий данного испытания составляет полную группу событий

А1-1 очко

А2-2 очка

А3-3 очка

А4-4 очка Полная группа событий

А5-5 очков

А6-6 очков

Действия над событиями

1)Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в том,

что произошло или событие А, или событие В, или оба вместе, т.е.

произошло хотя бы одно событие. С=А+В “+”-или

Примеры:

1)Соб. А-турист посетил город А

Соб. В-турист посетил город В

Соб. С-турист посетил город С

А+В=С – турист посетил или г. А, или г.В, или оба вместе.

2)При бросании игральной кости:

А-выпало четное число очков

В-выпало число очков, кратное 3-ем

А+В-выпало число очков или четное, или кратное 3-ем

Геометрическая интерпретация суммы событий

Диаграмма Венна

 

 

1 Для совместных

 событий

 

2  Для несовмест. соб.

 

Произвольным образом бросаем точку на плоскость. Если она попадет в область А, то произошло событие А, если в область В, то-событие В, если попадет в область с двухсторонней штриховкой, то события А и В произошли одновременно. Тогда сумме событий будет соответствовать область, отмеченная жирной линией. В случае несовместных событий сумме А+В будет соответствовать две непересекающиеся области. 2)Произведением событий А и В называется событие С, которое наступает с совместным наступлением А и В. А*В “ * ”-заменяет союз « И »

 

 

 

 

 Для произведения соб.

Аналогично определяются сумма и произведение для нескольких событий.

Классическая формула вероятности. Свойства вероятности.

Вероятность является одним из основных понятий в теории вероятностей.

При употреблении этого слова мы интуитивно оцениваем возможность появления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое.

В урне содержится 28 шаров, из них 2 белых, 13 красных, 13 черных. На удачу вынимаем 1 шар. Красный или черный шар можно вытянуть с большей возможностью, а белый – с меньшей. Из этого примера видно, что каждое событие обладает определенной степенью возможности , т.е. некоторой числовой оценкой.

Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности его появления. Р=Р(А)

Классической схемой или схемой случаев называется испытание, при котором число исходов (событий) конечно и все из них равновозможные.

Исход испытания (события) называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А.

Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событию А , к общему числу всех исходов испытания N. Р(А)=M/N

Из определения следуют следующие свойства.

1)Вероятность достоверного события. Р( )=1

2)Вероятность невозможного события. Р=0

3) Вероятность случайного события. 0<P(A)<1

4) Вероятность любого события .

5)Сумма вероятностей противоположных событий =1. Р(А)+Р(Ä)=1

6)Сумма вероятностей полной группы событий=1.

Примеры:

1)Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными из городов А,В,С. Вероятность получения пакета из г. А 0,7, из В 0,2. Найти вероятность получения пакета из г. С

А-пакет получен из г. А

В-пакет получен из г. В Полная группа событий

С -пакет получен из г. С

Р(А)+Р(В)+Р(С)=1

0,7+0,2+Р(С)=1 ; Р(С)=0,1

2)Брошено 2 игральные кости. Найти вероятность того, что 6 очков появится хотя бы на одной грани.

Событие А – 6 очков появилось хотя бы на одной грани

Событие  – появилось число очков не равное 6

Р(А)=1 - Р( )

Р( )=М/N

N=6*6=36

M=5*5=25

Р( )=25/36

Р(А)=1 - Р( )=1-25/36=11/36

3)На 5 карточках написаны буквы «а, д ,к, л, о». Карточки тщательно перемешивают, а затем выкладывают по одной на стол. Какова вероятность того, что получится слово «лодка»?

Событие А – получилось слово «лодка»

Р=M/N

 

Р(А)=1/120

5)Набирая номер телефона абонент забыл 3 последние цифры и помня, что они разные набрал, номер телефона. Какова вероятность того, что номер набран верно?

 

Р(А)=М/N

М=1

Р(А)=1/720

 

6)В ящике имеется 10 деталей, среди них 7 стандартных. На удачу берем 6.

Какова вероятность того, что среди 6 деталей окажется ровно 4 стандартных?

Соб. А – среди 6 выбранных деталей 4 стандартные.

 

Р(А)=M/N

 

7)В ящике лежит 10 заклепок, изготовленных из разного материала: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наудачу берем 2 заклепки. Какова вероятность того, что они окажутся сделанными из одного материала?

Соб. А – вытащенные заклепки из одного материала.

Р(А)=M/N