Статистическая и геометрическая вероятность

1) Статистическая вероятность.

Классическая формула вероятности дает непосредственно вычислять вероятность, но она предполагает выполнение некоторых условий. Она относится к событиям, обладающих симметрией и образующих полную группу событий. Многие группы событий не подходят под классическую схему, но каждое событие такой группы обладает некоторой возможностью наступления. Например, если игральная кость изготовлена из неоднородного материала, то вероятность появления некоторого числа очков не равна 1/6.

Иногда не удается выделить полную группу событий. Известно много случаев, когда результаты являются непредсказуемыми, хотя изначально все исходы были учтены. В подобных случаях находят относительную частоту события А

; n-число произведенных опытов

m-число опытов, в результате которых произошло событие А.

Оказывается, что при  относительная частота неограниченно близко приближается к определенному постоянному числу. Это число и будет называться статистической вероятностью.

Результаты опытов при бросании монеты.

n – число испытаний

m – число, соответствующее выпадению герба

2) Геометрическая вероятность

N=D ; M=d

Найти вероятность того, что точка, брошенная в треугольник попадет в круг.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Задачу из пункта Вероятность суммы событий (Вероятность попадания в цель при стрельбе из

трех орудий: Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.)

Можно решить намного быстрее, если применить теорему о вероятности хотя бы одного события. Пусть в результате опыта может появиться n независимых в совокупности событий,вероятности которых известны.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий А1, А2, …,Аn равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е. 1, 2,…, n.

Р(хотя бы одного события)=1-q1*q2*…*qn

Если

 р1=р2=…рn, то Р(хотя бы одн. соб.)=

Вопрос №33.

Вероятность произведения событий.

Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от появления или не появления другого. В противном случае события называются независимыми.

 Произведем 2 испытания.

 7 белых 1) Событие А – появился

 3 черных белый шар. Р(А)=0,7

 шаров Событие В – появился

 черный шар. Р(В)=1/3

А и В – зависимые

Р(В) – условная вероятность

2)А-появился белый шар.Р(А)=0,7 (с возвратом)

В – появился черный шар. Р(В)=0,3

В данном случае

События А1, А2,…, Аn называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения остальных событий и от каждого в отдельности.

Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.

Если событие А1, А2,…, Аn – независимы, то 1, 2,…, n – независимы.

Теорема

Вероятность совместного появления двух зависимых событий = произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

В урне 7 белых, 3 черных шара. На удачу один за другим выбираем по одному шару без возврата. Найти вероятность того, что первый шар оказался белым, а второй черным.

Теорема

Вероятность совместного появления двух независимых событий = произведению вероятностей этих событий.