Критерий Байеса относительно выигрышей

Предположим, что статистик из прошлого опыта известны не только состояния П _j, j = l, ..., п, в которых может находиться природа П, но и соответствующие вероятности q₁ , ..., q_n с которым природа  П реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения в условиях риска.

Показателем эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей называется среднее значение, или математическое ожидание выигрыша i-й строки с учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Обозначая это среднее значение через ā _i, будем иметь:

      ā _i = q₁ a_{i 1} + q₂ a_{i 2} + … + q_n a_in = , i =1, …, m .           (6)

Таким образом, a_t представляет собой взвешенное среднее выигрышей i-й строки, взятых с весами q₁ , ..., q_n.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей считается стратегия А_i0 с максимальным показателем эффективности, т.е. с максимальным средним выигрышем:

                                   ā_i0 = max ā_i .                                                 (7)

                                             ^{1≤ i ≤m}

Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока П.

Пусть P = (p₁ , ..., p_n )-некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой чистая стратегия А_i используется им с вероятностью p_i, i=1, ..., т. Тогда выигрыш игрока А при смешанной стратегии P = (p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П _j будет равен

                         H (P, П _j) = , j=1, …, n.                                (8)

Показателем эффективности смешанной стратегии P = (p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей назовем среднее значение выигрышей, с учетом вероятностей q₁ , ..., q_n состояний природы. Обозначим этот показатель через .

Получим:

 = = = = .    (9)

Таким образом показатель эффективности смешанной стратегии P = (p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей эффективности чистых стра­тегий  А _i, i = l, ..., m, по тому же критерию с весами p_i, i = l, ..., m.

Если, в частности, стратегия P = (p₁ , ..., p_n ) является чистой стратегией А _k, k = l, ..., m, то p_i = 0 i ≠ k, p_k = 1, и ее показатель эффективности как смешанной стратегии , превращается в ее показатель эффективности как чистой стратегии ā _k, вычисляемый по формуле (6).

Пусть S_A - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A. Оптимальной среди всех стратегий множества S_A по критерию Байеса относительно выигрышей назовем стратегию P ⁰, показатель эффективности (9) которой максимален:

                                 max = .                                         (10)

                                 ^{P ϵ S a}

Стратегия А _{i 0} оптимальная среди чистых стратегий по крите­рию Байеса относительно выигрышей, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

При принятии решений в условиях риска по критерию Байеса относительно выигрышей можно обойтись только чистыми стратегиями, не используя смешанные.