Критерий Байеса относительно рисков

Рассмотрим ту же игру с природой матрицей, в которой известны вероятности состояний природы q₁ , ..., q_n. При принятии решений в условиях риска можно пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками. Составим матрицу рисков для матрицы A, используя формулу рисков (3)

Таблица 3 – Матрица рисков

Показателем неэффективности стратегии А _i по критерию Байеса относи­тельно рисков называется среднее значение, или математическое ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 3), вероятности которых, очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим средний риск при стратегии А _i  через ṝ_i, тогда

                ṝ_i = q₁ r_i1 + q₂ r_i2 + … + q_n r_in = , i=1, …, m.          (11)

является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 3) с весами p_i, i=1, ..., т.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является стратегия П _j, показатель неэффективности (11) которой минимален, т.е. минимален средний риск

                                    ṝ_i0 = min ṝ_i.                                                 (12)

                                            ^{1≤ i ≤ m}

Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной стратегии и при состоянии природы П _j, j = l, ..., п, как разность

                r (P, П _j) = [max H (U, П _j)] - H (P, П _j), j=1, …, n.              (13)

                               ^{U ϵ S a}

между максимальным выигрышем max H (U, П _j) при всех смешанных стратегиях U = (u₁ , ..., u_n ) ϵ S_A и при состоянии природы П _j и выигрышем H (P, П _j) при смешанной стратегии P = (p₁ , ..., p_n ) и при состоянии природы П _j.

В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P = (p₁ , ..., p_n ) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную среднюю рисков (13) с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q₁ , ..., q_n состояний природы:

                                 = .                              (14)

Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P ⁰, показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (14), минимален:

                                   min = .                                          (15)

                                   ^{P ϵ S a}

Если А _{i 0} - стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков, то она является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества S_A.

При принятии решения в условиях риска по критерию Байеса относительно рисков так же как и в случае критерия Байеса относительно выигрышей достаточно использовать одни чистые стратегии, не рас­сматривая смешанные.

Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, т.е. если стратегия А _{i 0} является оптимальной по критерию Байеса относительно выигрышей, то она является оптимальной и по критерию Байеса относительно рисков, и наоборот, стратегия А _{i 0}, оптимальная по критерию Байеса относительно рисков, оптимальна и по критерию Байеса относительно выигрышей.