Алгоритмическое обеспечение

Выбор алгоритма решения задачи зависит от поставленных условий. Если вероятность состояний природы не определена и события равновероятны, то следует остановиться на критерии Лапласа. Если вероятность состояний природы не определена, но события имеют различную вероятность, то следует выбрать критерий относительных значений вероятностей состояний природы. В противном случае следует использовать критерий Байеса. Если исходными данными является платежная матрица, то для решения будут использоваться критерии относительно выигрышей, и критерии относительно рисков для матрицы рисков.

Проиллюстрируем алгоритм принятия решения в условиях риска на конкретном примере с использованием Excel. Для демонстрации всех критериев будем использовать платежную матрицу без заданной вероятности. Рассмотрим 2 случая: события имеют одинаковую вероятность и отличную друг от друга. На основе матрицы выигрышей построим матрицу рисков.

Рассмотрим игру с природой где игрок имеет 7 (m=7) чистых стратегий A₁ , A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇, природа П может находиться в одном из четырех (n=5)  состояний П ₁, П ₂, П ₃, П₄, П ₅. Статистик оценил последствия применения каждой из своих чистых стратегий A_i, в зависимости от состояний П _j природы, результаты представлены в платежной матрице 7×5 (таблица 3).

Таблица 3 – Платежная матрица

Упрощение матрицы. У игрока Анет стратегии, доминирующей каждую из остальных его стратегий, следовательно, нужно посмотреть, нет ли у него доминируемых или дублирующих стратегий. При наличии таковых, соответствующие им строки матрицы можно удалить, уменьшив тем самым ее размерность. Стратегия А₂доминирует стратегию А₇  и потому стратегию А₇  можно отбросить; стратегии А₂и А₆дублирующие, следовательно, одну из них, например А₆, можно удалить. В результате получим матрицу (таблица 3) размерности 5x5:

Таблица 4 – Упрощенная платежная матрица

Критерий Лапласа относительно выигрышей. Вероятности q₁ , q₂, q₃, q₄, q₅ состояний природы равны между собой и имеют значение q_j = 0,2.

Показатель эффективности стратегии А _i по критерию Байеса относительно выигрышей рассчитывается для i-й строки по формуле (16):

ā₁ = = 0,2*(5+6+4+3+4) = 4,4;

ā₂ = 4,2;

ā₃ = 3,4;

ā₄ = 3,2;

ā₅ = 4,6.

Как видно из полученных результатов оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно выигрышей является ā₅₀ = 4.6, т.к. значение ее максимально.

Критерий Лапласа относительно рисков. Построим на основе матрица выигрышей матрицу рисков, для этого дополним таблицу 4 строкой значений показателей благоприятности β _j (1):

Таблица 5 – Показатели благоприятности

Риск r_ij (2) это разность между показателем благоприятности β _j состояния природы П _j и выигрышем a_ij. Для матрицы А матрица рисков R_A имеет ту же размерность 5x5:

Таблица 6 – Матрица упущенных возможностей

Показатель неэффективности стратегии А _i по критерию Байеса относи­тельно рисков рассчитывается по формуле (11):

ṝ₁ = = 0,2*(2+2+2+3+0) = 1,8;

ṝ₂ =  2;

ṝ₃ =  2,8;

ṝ₄ =  3;

ṝ₅ =  1,6.

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно рисков является ṝ₅₀ = 1.6, т.к. значение ее минимально. Как и предполагалось результаты, полученные по матрице выигрышей и по матрице рисков, совпадают. Для следующего критерия расчеты относительно рисков производиться не будут.

Критерий относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей. Как уже известно, этот критерий используется в тех случаях, когда вероятность событий не известна, но статистик имеет представление об отношении вероятности одного состоянии природы к другим. Игрок A решил для себя, что менее правдоподобно возникновение П₁, затем по степени правдоподобности следуют состояния П₂, П₃ и П₄, наибольшей правдоподобностью обладает П₅, последовательность возрастает. Для определения вероятности q₁ , q₂, q₃, q₄, q₅ зададим произвольную монотонную возрастающую последовательность положительных чисел τ₁, τ₂, τ₃, τ₄, τ₅: 9, 16, 18, 22, 23. Вероятность состояния природы П₁ определяется по формуле (22):

              q₁ = = = ≈0,1023.                     

q₂ ≈0,1818;

q₃ ≈ 0,2046;

q₄ = 0,25;

q₅ = 0,2614;

Дополним матрицу игры (таблица 4) строкой с найденными вероятностями:

Таблица 5 – Матрица игры с заданными вероятностями

Показатель эффективности стратегии А_i по критерию Байеса относительно выигрышей рассчитывается по формуле (6):

ā₁= = 5*0,1023+6*0,1818+4*0,2046+3*0,25+4*0,2614=4,2159;

ā₂= 3,75;

ā₃= 3,5;

ā₄= 2,7386;

ā₅= 4,5227;

Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно выигрышей является ā₅₀ =4,5227, значение максимально.

Таким образом, выбранное решение по этому критерию является оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.

Результаты, полученные по трем критерия, совпадают.