Глава 2. Методы прогнозирования денежного потока

Экстраполяционные методы

Методы прогнозирования (методы экстраполяции и средней взвешенной) позволяют устанавливать эффективность использования денежных средств. При применении метода прогнозной экстраполяции в конечном итоге необходимо получить закономерность изменения притока и оттока денежных средств во времени и сделать прогноз на перспективу. Метод экстраполяции основан на выравнивании динамического ряда способом наименьших квадратов с последующим распространением выявленной тенденции на перспективу.

Сущность методов прогнозной экстраполяции состоит в анализе изменений объектов исследования во времени и распространение выявленных закономерностей на будущее. При экстраполяции предполагается что: текущий период изменения показателей может быть охарактеризован плавной траекторией – трендом; основные условия, определяюие технико-экономические показатели в текущем периоде не претерпят существенных изменений в будущем; отклонений фактических значений показателей от линии тренда носят случайный характер и распределяются по нормальному закону.

Решение этой задачи разбивается на следующие этапы: выбор формы связи, определение параметров уравнения, описывающего динамику данного явления и статистическая оценка построенного уравнения. Первым наиболее важным этапом построения модели является выбор формы связи, то есть подбор математического уравнения. Некоторую ориентировку в определении формы связи дает изучение коэффициента парной корреляции зависимой переменной с фактором построения графиков, в зависимости от характера изменения прогнозируемого объекта применяются различные функции: линейные первого и второго порядка, степенные, показательные, параболические и др.

На втором этапе производится расчет числовых характеристик уравнения. Получение коэффициентов уравнения основано на способе наименьших квадратов, сущность которого заключается в отыскании таких параметров связи, при которых остаточная сумма квадратов отклонений зависимой переменной "У" от ее теоретических значений Ут, исчисленных по уравнению, будет минимальной (У - Ут) = min. При построении уравнений для выравнивания динамического ряда необходимо определить тесноту связи между результативным показателем и фактором - аргументом. Теснота связи определяется по коэффициенту парной корреляции.

Третий этап сводится к статистической оценке уравнения. Достоверность уравнения определяется на основе нормативного отклонения фактического коэффициента Fф, которое сопоставляется с табличным значением Fтабл, исчисленным при данном уровне вероятности суждения и соответствующем, числе степеней свободы вариации. Если Fф > Fтабл, то делается заключение о достоверности уравнения, если Fф < Fтабл, то принимается нулевая гипотеза о том, что полученные при выработке значения показателей связи имеет случайный характер.

Часто ряды динамики характеризуются резкими колебаниями по годам. Метод скользящей средней позволяет отвлечься от случайных колебаний временного ряда, что достигается путем замены значений внутри выбранного интервала средней арифметической величиной.

Статистические методы

Прежде чем приступить к анализу статистических методов прогнозирования, рассмотрим некоторые общие понятия и определения, относящиеся к корреляционным и регрессионным моделям.

Применение корреляционного анализа предполагает выполнение следующих предпосылок:

а) Случайные величины y ( y ₁ , у₂, ..., У _n ) и x ( x ₁ , x ₂ , ..., Х _n ) могут рассматриваться как выборка из двумерной генеральной совокупности с нормальным законом распределения.

б) Отдельные наблюдения стахостически независимы, т. е. значение данного наблюдения не должно зависеть от значения предыдущего и последующего наблюдений.

в) Ковариация между ошибкой, связанной с одним значением зависимой переменной у, и ошибкой, связанной с любым другим значением y , равна нулю.

г) Дисперсия ошибки, связанная с одним значением у, равна дисперсии ошибки, связанной с любым другим значением .

д) Ковариация между погрешностью и каждой из независимых переменных равна нулю.

е) Непосредственная применимость этого метода ограничивается случаями, когда уравнение кривой является линейным относительно своих параметров b_o, b_i, ...,b_k Это, однако, не означает, что само уравнение кривой относительно переменных должно быть линейным. Если эмпирические уравнения наблюдений не являются линейными, то во многих случаях оказывается возможным привести их к линейной форме и ужепосле этого применять метод наименьших квадратов.

ж) Наблюдения независимых переменных производятся без погрешности.

Перед началом корреляционного анализа необходимо проверить выполнение этих предпосылок.

Связь между случайной и неслучайной величинами называется регрессионной, а метод анализа таких связей — регрессионным анализом. Применение регрессионного анализа предполагает обязательное выполнение предпосылок (б-г) корреляционного анализа. Только при выполнении приведенных предпосылок оценки коэффициентов корреляции и регрессии, получаемые с помощью метода наименьших квадратов, будут несмещенными и иметь минимальную дисперсию.

Регрессионный анализ тесно связан с корреляционным. При выполнении предпосылок корреляционного анализа выполняются предпосылки регрессионного анализа. В то же время регрессионный анализ предъявляет менее жесткие требования к исходной информации. Так, например, проведение регрессионного анализа возможно даже в случае отличия распределения случайной величины от нормального, как это часто бывает для технико-экономических величин.

По степени комплексности статистические исследования можно разделить на двумерные и многомерные. Первые касаются рассмотрения парных взаимосвязей между переменными (парные корреляции и регрессии) и направлены в прогнозных исследованиях на решение таких задач, как установление количественной меры тесноты связи между двумя случайными величинами, установление близости этой связи к линейной, оценки достоверности и точности прогнозов, полученных экстраполяцией регрессионной зависимости. Многомерные методы статистического - анализа направлены в основном на решение задачи системного анализа многомерных стохастических объектов прогнозирования. Целью такого анализа является, как правило, выяснение внутренних взаимосвязей между переменными комплекса, построение многомерных функций связи переменных, выделение минимального числа характеристик, описывающих объект с достаточной степенью точности. Одной из основных задач здесь является сокращение размерности описания объекта прогнозирования.

Таким образом, статистические методы используются в основном для подготовки данных, приведения их к виду, пригодному для производства прогноза. Как правило, после их применения используется один из методов экстраполяции или интерполяции для получения непосредственно прогнозного результата.

Экспертный метод

Основными преимуществами рассматриваемого метода является возможность максимального использования индивидуальных способностей эксперта и незначительность психологического давления, оказываемого на отдельного работника. Однако эти методы мало пригодны для прогнозирования наиболее общих стратегий из-за ограниченности знаний одного специалиста-эксперта о развитии смежных областей науки.

Методы коллективных экспертных оценок основываются на принципах выявления коллективного мнения экспертов о перспективах развития объекта прогнозирования. В основе применения этих методов лежит гипотеза о наличии у экспертов умения с достаточной степенью достоверности оценить важность и значение исследуемой проблемы, перспективность развития определенного направления исследований, времени свершения того или иного события, целесообразности выбора одного из альтернативных путей развития объекта прогноза и т. д. В настоящее время широкое распространение получили экспертные методы, основанные на работе специальных комиссий, когда группы экспертов за круглым столом обсуждают ту или иную проблему с целью согласования мнений и выработки единого мнения. Этот метод имеет недостаток, заключающийся в том, что группа экспертов в своих суждениях руководствуется в основном логикой компромисса.

В свою очередь в методе Дельфи вместо коллективного обсуждения той или иной проблемы проводится индивидуальный опрос экспертов обычно в форме анкет для выяснения относительной важности и сроков свершения гипотетических событий. Затем производится статистическая обработка анкет и формируется коллективное мнение группы, выявляются, обобщаются аргументы в пользу различных суждений. Вся информация сообщается экспертам. Участников экспертизы просят пересмотреть оценки и объяснить причины своего несогласия с коллективным суждением. Эта процедура повторяется 3–4 раза. В результате происходит сужение диапазона оценок. Недостатком этого метода является невозможность учета влияния, оказываемого на экспертов организаторами опросов при составлении анкет.

Как правило, основными задачами при формировании прогноза с помощью коллектива экспертов являются: формирование репрезентативной экспертной группы, подготовка и проведение экспертизы, статистическая обработка полученных документов.

Для получения качественного прогноза к участникам экспертизы предъявляется ряд требований, основными из которых являются: высокий уровень общей эрудиции; глубокие специальные знания в оцениваемой области; способность к адекватному отображению тенденции развития исследуемого объекта; наличие психологической установки на будущее; наличие академического научного интереса к оцениваемому вопросу при отсутствии практической заинтересованности специалиста в этой области; наличие производственного и (или) исследовательского опыта в рассматриваемой области.

Для определения соответствия потенциального эксперта перечисленным требованиям используется анкетный опрос. Дополнительно к этому часто используют способ самооценки компетентности эксперта. При самооценке эксперт определяет степень своей осведомленности в исследуемом вопросе также на основании анкеты.

Обработка данных дает возможность получить количественную оценку компетентности потенциального эксперта по следующей формуле

 (1)

где Vj – вес градации, перечеркнутой экспертом по j-й характеристике в анкете в баллах; jmax V – максимальный вес (предел шкалы) j-й характеристики в баллах; т – общее количество характеристик компетентности в анкете; λ – вес ячейки, перечеркнутой экспертом в шкале самооценки в баллах; р – предел шкалы самооценки эксперта в баллах.

Установить оптимальную численность группы экспертов довольно трудно. Однако в настоящее время разработан ряд формализованных подходов к этому вопросу. Один из них основан на установлении максимальной и минимальной границ численности группы. При этом исходят из двух условий: высокой, средней компетентности групп экспертов и стабилизации средней оценки прогнозируемой характеристики.

Первое условие используется для определения максимальной численности группы экспертов nmax:

(2)

где С - константа; Кmax – максимально возможная компетентность по используемой шкале компетентности; Кi – компетентность i-гo эксперта. Это условие предполагает, что если имеется группа экспертов, компетентность которых максимальна, то среднее значение их оценок можно считать «истинным». Для определения константы используется практика голосования, т. е. группа считается избранной, если за нее подано 2/3 голосов присутствующих. Исходя из этого, принимается, что С=2/3. Таким образом, максимальная численность экспертной группы устанавливается на основании неравенства:

 (3)

Далее определяется минимальная численность экспертной группы nmin. Это осуществляется посредством использования условия стабилизации средней оценки прогнозируемой характеристики, которое формулируется следующим образом: включение или исключение эксперта из группы незначительно влияет на среднюю оценку прогнозируемой величины:

(4)

где В – средняя оценка прогнозируемой величины в баллах, данная экспертной группой; В' – средняя оценка, данная экспертной группой, из которой исключен (или в которую включен) один эксперт; Вmax – максимально возможная оценка прогнозируемой величины в принятой шкале оценок; ε – заданная величина изменения средней ошибки при включении или исключении эксперта.

Величина средней оценки наиболее чувствительна к оценке эксперта, обладающего наибольшей компетентностью и поставившего наибольший балл при max B ≤ B и минимальный – при / 2 max B ≥ B .

Поэтому для проверки выполнения условия (7) предлагается исключить из группы одного эксперта.

В литературе приводится правило расчета минимального числа экспертов в группе в зависимости от заданной (допустимой) величины изменения средней оценки ε

 (5)

Таким образом, правила (3)-(5) дают возможность получить оценочные значения максимального и минимального числа экспертов в группе. Окончательная численность экспертной группы формируется на основании последовательного исключения малокомпетентных экспертов, при этом используется условие ( − )≤η i K K max , где η – задаваемая величина границы допустимого отклонения компетентности 1-го эксперта от максимальной. Одновременно могут включаться в группу новые эксперты. Численность группы устанавливается в пределах min n ≤ n max ≤ n . Кроме описанных выше процедур в методах коллективных экспертных оценок используется подробный статистический анализ экспертных заключений, в результате которого определяются качественные характеристики группы экспертов. В соответствии с этими характеристиками в процессе проведения экспертизы качественный и количественный состав экспертной группы может корректироваться. Подготовка к проведению экспертного опроса включает разработку анкет, содержащих набор вопросов по объекту прогноза. Структурно-организационный набор вопросов в анкете должен быть логически связан с центральной задачей экспертизы. Хотя форма и содержание вопросов определяются спецификой объекта прогнозирования, можно установить общие требования к ним: вопросы должны быть сформулированы в общепринятых терминах, их формулировка должна исключать всякую смысловую неопределенность, все вопросы должны логически соответствовать структуре объекта прогноза, обеспечивать единственное толкование. По форме вопросы могут быть открытыми и закрытыми, прямыми и косвенными. Вопрос называют открытым, если ответ на него не регламентирован. Закрытыми считаются вопросы, в формулировке которых содержатся альтернативные варианты ответов, и эксперт должен остановить свой выбор на одном (или нескольких) из них.

Косвенные вопросы используют в тех случаях, когда требуется замаскировать цель экспертизы. К подобным вопросам прибегают тогда, когда не уверены, что эксперт, давая информацию, будет вполне искренен или свободен от посторонних влияний, искажающих объективность ответа. Рассмотрим основные группы вопросов, используемых при проведении коллективной экспертной оценки:

- вопросы, предполагающие ответы в виде количественной оценки: о времени свершения событий, о вероятности свершения событий, об оценке относительного влияния факторов. При определении шкалы значений количественных характеристик целесообразно пользоваться неравномерной шкалой. Выбор конкретного масштаба неравномерности определяется характером зависимости ошибки прогноза от периода упреждения;

- вопросы, требующие содержательного ответа в свернутой форме: дизъюнктивные, конъюнктивные, импликативные;

- вопросы, требующие содержательного ответа в развернутой форме: в виде перечня сведений об объекте; в виде перечня аргументов, подтверждающих или отвергающих тезис, содержащийся в вопросе.

Эти вопросы формируются в два этапа. На первом этапе экспертам предлагается сформулировать наиболее перспективные и наименее разработанные проблемы. На втором – из названных проблем выбираются принципиально разрешимые и имеющие непосредственное отношение к объекту прогноза.

Процедура проведения экспертизы может быть различной, однако здесь также можно выделить три основных этапа. На первом этапе эксперты привлекаются для уточнения формализованной модели объекта прогноза, формулировки вопросов в анкетах, уточнения состава группы. На втором этапе осуществляется непосредственная работа экспертов над вопросами в анкетах. На третьем этапе после предварительной обработки результатов прогноза эксперты привлекаются для консультаций по недостающей информации, необходимой для окончательного формирования прогноза. При статистической обработке результатов экспертных оценок в виде количественных данных, содержащихся в анкетах, определяются статистические оценки прогнозируемыххарактеристик и их доверительные границы, статистические оценки согласованности мнений экспертов.

Среднее значение прогнозируемой величины определяется по формуле:

(6)

где Bi - значение прогнозируемой величины, данное i-м экспертом; n – число экспертов в группе. Кроме того, определяется дисперсия:

(7)

и приближенное значение доверительного интервала

(8)

где t – критерий Стьюдента для заданного уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы k = (n – 2). Доверительные границы для значения прогнозируемой величины вычисляются по формулам: для верхней границы АB = В +j, для нижней границы AH=B-j. Коэффициент вариации оценок, данных экспертами, определяется по зависимости

(9)

где σ - среднеквадратическое отклонение.

При обработке результатов экспертных оценок по относительной важности направлений среднее значение, дисперсия и коэффициент вариации вычисляются для каждого оцениваемого направления. Кроме того, вычисляется коэффициент конкордации, показывающий степень согласованности мнений экспертов по важности каждого из оцениваемых направлений, и коэффициенты парной ранговой корреляции, определяющие степень согласованности экспертов друг с другом. Для этого производится ранжирование оценок важности, данных экспертами. Каждая оценка, данная i-м экспертом, выражается числом натурального ряда таким образом, что число 1 присваивается максимальной оценке, а число n - минимальной. Если все оценки различны, то соответствующие числа натурального ряда есть ранги оценок i-го эксперта.

Если среди оценок, данных; i-м экспертом, есть одинаковые, то этим оценкам назначается одинаковый ранг, равный средней арифметической соответствующих чисел натурального ряда.

Сумма рангов Sj, назначенных экспертами направлению j (j=1,…, т; х – число исследуемых направлений), определяется по формуле:

 (10)
где Rij – ранг оценки, данной i-м экспертом j-му направлению. Среднее значение суммы рангов оценок по всем направлениям равно: .

Отклонение суммы рангов, полученных j-м направлением, от среднего значения суммы рангов определяется как: .

Тогда коэффициент конкордации, вычисленный по совокупности всех направлений, составляет:

 (11)

Величина , рассчитывается при наличии равных рангов (n – количество групп равных рангов, t_e - количество равных рангов в группе).

Коэффициент конкордации принимает значение в пределах от 0 до 1. W=l означает полную согласованность мнений экспертов, при W=О - полную несогласованность. Коэффициент конкордации показывает степень согласованности всей экспертной группы. Низкое значение этого коэффициента может быть получено как при отсутствии общности мнений всех экспертов, так и из-за наличия противоположных мнений между подгруппами экспертов, хотя внутри подгруппы согласованность может быть высокой. Для выявления степени согласованности мнений экспертов используется коэффициент парной ранговой корреляции.

 (12)

Где Ψj – разность (по модулю) величин рангов оценок j-го  направления, назначенных экспертами i и i+1,

(13)

Коэффициент парной ранговой корреляции может принимать значения от +1 до -1. Значение ρ=1 соответствует полной согласованности мнений двух экспертов. Значение ρ= -1 показывает, что мнение одного эксперта противоположно мнение другого.

Для определения уровня значимости значений коэффициентов W и ρ_i,i+1  можно использовать критерий χ² . для этого вычисляется величина

(14)

(число степеней свободы k=т-1) и по соответствующим таблицам определяется уровень значимости полученных значений.