Тема 4. Модели стационарных временных рядов

Задание. Прогнозирование на базе моделей авторегресси р-порядка, модели скользящего среднего порядка q и авторегрессионных моделей со скользящими средними в остатках.

Исполнение: выполнение индивидуального задания с использованием ППП Statistica 6.0 и Statgraphics. Интерпретация результатов решения.

Оценка. Практическая реализация теоретических методов прогнозирования.

Время выполнения заданий: 8 часов.

Методические указания

Исходные данные для прогноза представлены в таблице 8.

Таблица 8 – исходные данные по выработке на одного работающего для прогнозирования по методу Бокса-Дженкинса (в т)

В формулах   для удобства записи использован оператор сдвига В, вычисляемый как ВY_t=Y_t-1.

Модель (1) имеет порядок (p, d, q). P- определяет порядок авторегрессии, q – скользящего среднего; d – порядок конечных разностей. Ее практическое использование и методика построения связаны с Г. Боксом и Г. Дженкинсом. В пакете STATGRAPHICS реализована эта процедура. Покажем возможности ее использования для прогнозирования, используя данные из таблицы 2.

Проблема применения модели Бокса-Дженкинса является определение эффективных оценок ее параметров p, d, q. Для ее построения вычисляют первоначально разности ряда до тех пор, пока они не окажутся стационарными относительно математического ожидания и дисперсии. Далее задача сводится к оцениванию коэффициентов в модели авторегрессии и скользящего среднего.

Для построения ARIMA-модели порядка (1, 1, 1), т.е. порядок авторегресси, скользящего среднего и конечных разностей равен единице, в панели спецификации моделей установим переключатель процедуры Бокса-Дженкинса – ARIMA Model и изменим поля Differencing Noseasonal Order (порядок несезонной разности) и МА (несезонное скользящее среднее). Установим их равными единице. Прогноз осуществим на 6 лет.

Результаты построения отражены на рисунке 16.

Используя данные листинга (рис. 16), запишем:

(1 – 0,724В)(1 – В)У_t = 9,151 + (1 – 0,353В)e_t.                     

Раскрыв скобки и применяя операторы сдвига BY_t-1=Y_t-1 и Вe_t-1=e_t-1, имеем

 Y_t-1 = 9,151 + 1,725 Y_t-1 – 0,725 Y_t-2 + e_t – 0,353e_t-1.

Отличительной чертой использования процедуры Бокса-Дженкинса является прогнозирование не только математического ожидания временного ряда, но и доверительных интервалов, в которых находится искомый показатель с заданной вероятностью.

Рис. 16 – Результаты построения модели Бокса-Дженкинса

На рис. 17 представлен исходный ряд за 35 периодов с прогнозными значениями выработки на 6 лет. Пунктирными линиями отмечены доверительные 95%-е границы прогноза.

Рис. 17 – Прогноз выработки по модели Бокса-Дженкинса

Для вывода основных формул, используемых для прогнозирования значений показателя У_t на будущий период t+l (где l – период упреждения), вводят два способа представления ряда динамики. Предсказываемый уровень исследуемого показателя выражается в виде

 ,

где  - прогноз выработки в l-м году; а₁, а₂, …, а_р – коэффициент авторегрессии; b₁, b₂, …, b_q – коэффициенты скользящего среднего.

Другая форма записи ARIMA-модели связывает будущие значения показателя выработки с бесконечной линейной комбинацией случайных компонент e_t:

 (1)

 где  - рассчитанные специальным образом веса.

Используя формулу (1), можно показать, что предсказанные значения выработки на момент времени t+l отличается от ее прогноза в момент t на ошибку предсказания на первом шаге е_t+1, умноженную на коэффициент .

На рис. 17 представлен листинг с результатами прогнозирования по модели Бокса-Дженкинса. Из них видно, что за 6 предстоящих лет производительность труда вырастет на 13% (1570,45:1397*100-100). При этом значение выработки в конце периода упреждения может изменяться от 1376,78 до 1764,12 на человека.