Образование погрешности при обработке

 ступенчатых поверхностей

5.3.2.1. Поверхности расположены параллельно координатным осям

 

Максимальные погрешности, обусловленные динамическими ошибками в контурах управления, возникают при формообразовании поверхности в виде прямого угла. Для анализа этого состояния необходимо рассмотреть случай, когда управляющее воздействие по каналам изменяется скачком.

В этом случае задающие сигналы, поступающие на входы приводов при обработке поверхностей, расположенных под прямым углом со сторонами параллельными осям координат, имеют вид скачков скорости

                           

.                                                   (22)

Предварительный анализ приведенной на рис. 8 кривой позволяет заключить, что величина внутренней ошибки определяется быстродействием привода, а величина наружной определяется его колебательностью, то есть величиной перерегулирования. Поэтому наружную ошибку с определенной степенью точности можно оценить с помощью выражения:

 

.                                                   (23)

Для определения внутренней ошибки необходимо рассмотреть поведение системы во время переходного процесса, возникающего при обработке поверхностей, расположенных под прямым углом, то есть найти совместное решение уравнения движения системы по координатам X и Y.

Рис. 8. Формирование погрешности при обработке поверхностей, расположенных вдоль осей координат

 

На основании передаточных функций системы эти уравнения можно представить следующим образом:

 

,                           (24)

.                                   (25)

Выражение (25) можно записать через передаточную функцию ошибки

 

.                           (26)

 На основании сравнения уравнений движения по координатам Х (24) и У (25) можно сразу получить уравнение движения в оригиналах преобразования Лапласа при учете начальных условий по координате Х

.                                       (27)

Поскольку определение точного значения d_в представляет значительные трудности, то прибегают к оценочному значению внутренней ошибки, которая определяется как длина радиуса-вектора, расположенного под углом 45° к оси Х, от начала координат до траектории движения, то есть

.                         (28)

На основании уравнения (27) можно видеть, что в этом случае t₁=1/k. В результате не сложных преобразований внутренняя ошибка формообразования угла

.              (29)

На основании уравнения (24) можно записать и выражение для определения наружной ошибки формообразования

 

.                     (30)

 

Для системы контурного управления с передаточной функцией разомкнутой системы

 

                               (31)

передаточные функции замкнутой системы и по ошибке соответственно равны

 

;          .     (32)

На основании (25) с помощью метода неопределенных коэффициентов можно представить изображение по Лапласу переходного процесса по координате У

 

.                  (33)

В зависимости от m=k T переходный процесс может носить апериодический при m ≤ 0.25 и колебательный характер при m > 0.25.

В случае колебательного режима

,                 (34)

где

;     ;             .

По таблицам обратного преобразования Лапласа переходный процесс по координате У

,            (35)

где

.

Оценка величины внутренней ошибки производится на основании (28) при t = t ₁ =1/k

        (36)

Величина наружной ошибки в соответствии с (29)

,                 (37)

где время достижения максимума наружной ошибки

.                            (38)

При апериодическом переходном процессе, то есть при m ≤ 0.25

 

или для оценки внутренней ошибки

 

.             (39)

Очевидно, что в этом случае наружная ошибка отсутствует, то есть d _Н=0.

При m®0 d _В=0.52d _S, при m=4 d _В=0.38d _S, таким образом можно отметить в этом случае относительно слабое влияние параметров системы на погрешности формообразования.

                                                       

5.3.2.2. Оценка погрешностей обусловленных параметрическими возмущениями

 

Оценку влияния параметрических возмущений на точность обработки поверхностей, расположенных под прямым углом, будим производить для общего случая расположения контура, когда стороны контура наклонены под некоторым углом b к осям координат (рис. 9).

 

Рис. 9. Формирование погрешности при обработке поверхностей, расположенных под углом b к координатным осям

 

Тогда управляющее воздействие по координатам можно представить в следующем виде:

                             (40)

 Преобразование Лапласа от перемещения по осям координат при t³0.

,                      (41)

 

где ,  - передаточные функции замкнутых систем по координатам ;

, -передаточные функции ошибок по координатам

k_{x ,} k_y -коэффициенты усиления разомкнутой системы

Введем новую систему координат, оси которой совпадают со сторонами заданного контура, а направление соответствует направлению обхода контура, то есть:

,                              (42)

Тогда подставляя выражения для х и у (41) в уравнение (42) получим

 

(43)

Следует отметить, что поскольку правило определения ошибок не зависят от системы координат, то и их значения инвариантны к системе координат.

В случае параметрических возмущений малой величины выражения для перемещения можно представить в виде:

 

,                             (44)

где  - отклонение передаточной функции системы при возмущении по параметру f.

Наиболее критичным параметром к возмущениям является коэффициент усиления разомкнутой системы, поскольку он в значительной степени определяется аналоговой частью системы (ЦАП, привод). Рассмотрим самый худший из вариантов, вероятно, возникает в тех случаях, когда по одним координатам коэффициент возрастает, а по другим понижается.

 

.                         (45)

Тогда

.                                          (46)

Учитывая, что

 

       (47)

Для упрощения математических выкладок примем D k=a × k, где a - относительная нестабильность параметра (a=0.05). Тогда   и (43) примет вид

 

(48)

Из анализа (48) видно, что максимальному значению наружной ошибки,

 - соответствует угол наклона профиля b=45°. Для этого случая

 

       (49)

Сравнив выражения  и  можно записать

 

.                         (50)

Тогда выражения ошибок формообразования принимают вид:

 

,                           (51)

при и соответственно ;

.                              (52)

В общем случае сравнивая (24), (25), (27) с (49) и (50) можно представить

,                                      (53)

где - составляющая переходного процесса, обусловленная динамическими характеристиками идентичных контуров управления;

-составляющая переходного процесса, вызванная отклонением параметра системы.

 

;

;

;                 (54)

 

Для определения внутренней ошибки расчет производится при t ₁ =(1- a )/ k.

Поскольку определение d_н по (52) представляет значительные вычислительные трудности для оценочных расчетов следует ограничиться приближенным значением d^’_н, которое вычисляется при t=t ₂, соответствующим определению наружной ошибки при отсутствии параметрических возмущений. Таким образом

 

, где .            (55)

Анализ зависимости (55) показывает, что при наличии идентичных

каналов по координатам управления, ошибка инвариантна (независима) к углу наклона профиля обрабатываемой поверхности.

На основании проделанных вычислений, можно сделать вывод, что расчет контурных систем ЧПУ при обработке ступенчатых поверхностей практически не отличается от расчета позиционных систем. Отличие заключается в учете нестабильности параметров и не идентичности каналов управления при выборе коэффициента усиления контура и частоты среза.