Обработка результатов эксперимента

Введение

 

Настоящие методические указания состоят из описания шести лабораторных работ по курсу электричества и магнетизма:

1. Моделирование электростатического поля.

2. RLC - контур.

3. Индуктивность.

4. Термоэлектродвижущая сила.

5. Изучение свойств ферромагнетиков.

6. Эффект Холла.

В методических указаниях принята традиционная компоновка подобных описаний, состоящая из разделов: основные понятия, методика эксперимента, порядок выполнения работы, обработка результатов эксперимента.

Для подготовки к лабораторным работам необходимо использовать лекционный и учебный материал.

Большое внимание уделяется обработке результатов экспериментов.

Методические указания составлены таким образом, что преподаватели и студенты имеют возможности вносить в каждую работу модификации заданий и их интерпретации к семинарским и лекционным курсам.

Лабораторная работа 1

Термоэлектродвижущая сила

 

Цель работы: Изучение контактных явлений в металлах и термоэлектрических методов измерения температуры, снятие зависимости термоэлектродвижущей силы от разности температур холодного и горячего спаев, градуировка термопары, определение постоянной термопары и концентрации электронов.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Экспериментально доказано, что в металлах, имеются свободные электроны, способные перемещаться по металлу Такая система свободных электронов в кристаллической решетке называется электронным газом. Свободными электроны в металле можно считать лишь относительно. Вблизи границы металла на электроны действует электрическая сила, удерживающая их внутри металла. Чтобы преодолеть эту силу, электрон должен совершить определенную работу. Для удобства количественного описания процесса удобно ввести понятие "потенциальный ящик". Можно полагать, что электроны внутри металла имеют определенную отрицательную энергию, которая резко возрастает и обращается в нуль на границе металла

Электрон в металле имеет, таким образом, кинетическую  и потенциальную энергию . Полная энергия  при

отрицательна. Глубина "потенциального ящика" (т.е. величина ) определяется параметрами металла и свойствами поверхности, а кинетическая энергия -температурой и уровнем Ферми.

Для того, чтобы вырвать электрон из металла, ему необходимо

сообщить энергию , достаточную для преодоления потенциального барьера.

С увеличением температуры энергия электронов повышается. Однако даже при температурах, близких к температуре плавления, глубина потенциального ящика остается практически неизменной, так что энергию, которую нужно сообщить электрону для вырывания его из металла, можно определить по той же формуле, что и при Т=0.

 

                 

 

                                           

                                         

 

Рис.2.1"Потенциальный ящик" электронов внутри металла. Кинетическая энергия электронов отсчитывается от "дна" потенциального ящика.

 

Вследствие теплового движения электроны проводимости могут выходить из металла в окружающее пространство. В результате вылета электронов из металла вблизи поверхности проводника образуется двойной электрический слой толщиной в несколько межатомных расстояний. Металл оказывается заряженным положительно, а вылетающие электроны образуют отрицательно заряженное "облако". Между металлом и электронным облаком возникает разность потенциалов . Для различных металлов  колеблется от 1 до 10 В и зависит как от химической природы металла, так и от состояния его поверхности.

Электрон, выходя из металла, совершает работу против сил притяжения со стороны положительно заряженного проводника и против сил отталкивания со стороны ранее вылетевших электронов. Эта работа совершается за счет уменьшения кинетической энергии электронов и называется работой выхода электрона из данного металла. Работа выхода

 

связана с разностью потенциалов

 (2.1)

 

где -величина заряда электрона.

При соприкосновении двух проводников электроны вследствие теплового движения переходят из одного проводника в другой. Если соприкасающиеся проводники различны или если их температуры в разных точках неодинаковы, то оба потока диффузии электронов неодинаковы и один из проводников заряжается положительно, а другой отрицательно. Поэтому в пограничном слое между проводниками появляется электрическое поле, уравновешивающее разность диффузных потоков. Опыт показывает, что в контакте двух различных проводников наблюдаются тепловые явления при протекании электрического тока (в зависимости от направления тока происходит либо нагревание, либо охлаждение контакта) Это явление получило название явления Пельтье.

Наличие тепла Пельтье означает, что кинетическая энергия электронов при переходе из одного проводника в другой изменяется. Если она увеличивается, то спай нагревается, если же она уменьшается, то спай охлаждается. Это значит, что между обоими проводниками имеется некоторая разность потенциалов, которая не зависит от тока и существует даже в его отсутствии. Она получила название внутренней контактной разности потенциалов.

Возникновение внутренней контактной разности объясняется следующим образом. Рассмотрим два различных металла 1 и 2 (рис.2.2), находящихся при одной и той же температуре, и предположим, что мы привели их в соприкосновение. Электроны проводимости вследствие теплового движения будут переходить из проводника 1 в проводник 2 и обратно. Так как концентрация электронов в обоих металлах различна, то и диффузионные потоки электронов будут неодинаковыми. Положим, что концентрация электронов в металле 1 больше концентрации в металле 2.

 

 

                          

 

 

                                                                            

  W 1                2

                                                     

                                           

 

                                                               X

Рис.2.2 Контакт двух различных проводников и распределение потенциальной энергии электронов.

 

Положим, что концентрация электронов в металле 1 больше концентрации в металле 2. Тогда поток диффузии электронов из металла 1 будет больше потока диффузии в обратном направлении и металл 1 будет заряжаться положительно, а металл 2 - отрицательно. В результате этого между металлами возникнет разность потенциалов и появится электрическое поле, которое вызовет дополнительное движение электронов (переносное, или дрейфовое, движение) в обратном направлении - от металла 2 к металлу 1, поэтому общее количество электронов, переходящих от 1 к 2, будет уменьшаться, а идущих в противоположном направлении - увеличиваться. При некоторой внутренней контактной разности потенциалов  между металлами установится равновесие и потенциалы металлов не будут уже изменяться. Эта разность потенциалов и является внутренней контактной разностью потенциалов обоих металлов.

Отметим, что вследствие большой тепловой скорости электронов обмен электронами происходит весьма быстро и равновесие устанавливается уже в ничтожные доли секунды.

Согласно закону Ома плотность тока внутри металла равна . Так как в равновесии , то и электрическое поле в любой точке в толще металлов равно нулю. Это значит, что электрическое поле  существует только в тонком пограничном слое между обоими проводниками, на котором сосредоточена и вся контактная разность потенциалов.

Полученные результаты можно наглядно представить с помощью энергетической диаграммы. Будем откладывать по вертикальной оси потенциальную энергию электрона внутри металла, равную  (  - заряд электрона, -значение потенциала), а по горизонтальной оси - перемещение вдоль металла. Тогда получится распределение энергии, изображенное на рис.2.2

Так как в отсутствии тока потенциал внутри металла одинаков, то и энергия постоянна в разных точках одного и того же металла. Однако ее значение в обоих металлах различно и меньше в металле 1, заряженном положительно, нежели в проводнике 2 (так как заряд электрона . Разность энергий электрона в обоих проводниках равна

Вычислим теперь величину внутренней контактной разности потенциалов.

В классической электронной теории задача о равновесии электронов в двух соприкасающихся проводниках не отличается от задачи о равновесии атомарного газа, находящегося в поле тяжести. Из молекулярной физики известно, что концентрация атомов газа  на высоте  связана с концентрацией  у поверхности земли формулой:

где -масса атома, g - ускорение поля тяжести, и -постоянная Больцмана,  - абсолютная температура, которая предполагается одинаковой во всем газе. Здесь  есть разность потенциальных энергий  атома газа на высоте  и у поверхности земли. В случае двух соприкасающихся металлов  и поэтому , где  и  - концентрации электронов в обоих металлах. Отсюда

 

 (2.2)

 

Полученная формула показывает, что чем больше различие в концентрациях электронов и, тем больше и внутренняя контактная разность.

Возникновение внешняя контактной разности потенциалов объясняется следующим образом. Рассмотрим, какое электрическое состояние установится у свободных концов дух соприкасающихся металлов. Пусть, сначала два различных металла 1 и 2 разобщены друг с другом. В этом случае потенциальная энергия электрона в различных точках пространства изображается кривыми рис.2.3а. При построении этого графика энергия покоящегося электрона в вакууме (вне металла) принята равной нулю. Так как оба металла не заряжены, то электрического поля между ними нет и энергия электрона в пространстве между металлами остается постоянной. Она постоянна и внутри металлов (точнее, постоянно ее среднее значение), но имеет другую, меньшую величину. Каждый кусок металла на этом графике характеризуется потенциальным ящиком.

В классической теории глубина потенциальной ямы равна термоэлектронной работе выхода электрона из металла А.

Приведем теперь в соприкосновение оба куска металла. Тогда в контактном слое вследствие диффузии электронов установится скачок потенциала Uвнутренний, равный внутренней контактной разности потенциалов. и между днищами обеих потенциальных ящиков будет малое энергетическое расстояние eU (рис.2.3). Но так как глубины потенциальных ящиков различны. то их внешние края окажутся на разных высотах. Это значит, что между двумя любыми точками А и Б, находящимися вне металлов, но расположенными в непосредственной близости от их поверхностей, возникает разность потенциалов.

 

       1                       2                              1          2                               

                                                              A                                       Б            

 

                          

                                                                                          

 

                                                                               

   

Рис.2.3 Возникновение внешней контактной разности потенциалов.

 

Она получила название внешней контактной разности. потенциалов обоих металлов. Между обоими соприкасающимися металлами во внешнем пространстве появится электрическое поле, а на поверхности металлов возникнут электрические заряды (рис.2.3). Из рис.2.3 видно, что контактная разность потенциалов равна

 

 (2.3)

 

где знак + или - следует выбирать в зависимости от знака внутренней контактной разности.

Оценка показывает, что мало и имеет порядок в. Напротив, работы выхода  измеряются несколькими вольтами и такой же порядок имеет их разность для различных пар металлов. Поэтому с достаточной точностью можно считать:

 

 (2.4)

 

т.е. контактная разность потенциалов двух металлов равна разности их работ выхода. Квантовая теория металлов показывает. что формула (2.4) верна совершенно точно.

Рассмотрим теперь цепь, состоящую не из двух, а из нескольких металлов 1, 2, 3, 4 (рис.2.5). Если бы мы ее разрезали по aa, то между свободными концами металлов 1 и 2 была бы контактная разность

 

 

Аналогично между разрезами аа и 66 была бы разность потенциалов

 

 

а у последней пары металлов

 

 

                                                  

                       1                       

                                   ++        

                                   - -          

                        2                      

                                                 

Рис.2.4 При соприкосновении двух различных металлов во вешнем пространстве появляется электрическое поле, а на поверхности металлов возникают заряды

   а 2        1

 

        

                             

      3               4

      в

 

Рис.2.5 При соединении нескольких проводников 1,2,3,4 электрическое поле определяется только крайними проводниками1 и 4.

 

Так как в плоскостях аа. бб и т.д. соприкасаются одинаковые металлы, то дополнительные разности потенциалов здесь не возникают; поэтому контактная разность всей цепи равна

 

 (2.5)

 

т.е. такая же, как в отсутствии промежуточных металлов 2 и 3. Контактная разность определяется только крайними металлами цепи.

Если имеется замкнутая цепь, составленная из разных металлов или вообще из электронных проводников (проводников первого класса), то внешняя контактная разность вообще не возникает и остаются только внутренние контактные разности и т.д.

Сумма этих скачков потенциала равна

 

 (2.6)

 

Следовательно, и электродвижущая сила цепи, составленной из каких угодно проводников первого класса, но заходящихся при одинаковой температуре, равна нулю. Такой же результат получается и в квантовой теории металлов.

Составим замкнутую цепь из двух разнородных металлов и будем поддерживать температуры контактов  и  (спаев) различными температурами  и  (рис.2.6) В этом случае в цепи возникает электродвижущая сила, которая называется термоэлектродвижущей силой. а сама цепь называется термопарой или термоэлементом.

Контактные разности потенциалов в спаях  и  различны по величине вследствие различной температуры спаев. Подсчитаем электродвижущую силу, пользуясь формулой :

 

 (2.7)

 

Постоянная для двух данных металлов величина

 

 (2.8)

 

называется постоянной термопары или удельной термо-э. д. с. Удельная термо-э. д. с. равна термоэлектродвижущей силе, возникающей в цепи при разности температур спаев в один кельвин. Формулу (2.7) можно записать в виде:

 

 (2.9)

 

откуда видно, что термо-э. д. с., пропорциональна разности температур спаев. Удельная термо-э. д. с. - не строго постоянная величина и несколько зависит от температуры.

Благодаря возникающей термо-э. д. с., в термопаре возникает ток. Для его поддержания необходимо обеспечить разность температур спаев, то есть к горячему спаю подводить тепло, а холодный спай поддерживать при одной и той же температуре. В этом случае происходит преобразование тепловой энергии в электрическую.

Методика эксперимента

 

П. нагрев. - охлаждение 1 2 3

Горячие спаи

Рис.2.6

 

В установке используют термопарный термометр, состоящий из батареи М последовательно соединенных холодных и горячих спаев двух разнородных металлов (рис.2.6). Горячие 1 спаи помещены в сосуд с водой 3, нагреваемый элементом 4. Температура воды регистрируется термометром 5. Холодные спаи 2 помещены в сосуд с водой 6 при комнатной температуре, регистрируемой термометром 7. Так как горячие и холодные спаи одинаковы то по формуле (2.7) для последовательного соединения  спаев перепишется так:

 

 

где  - постоянная термопары.

При включении нагревателя температура горячих спаев увеличивается и по цепи с милливольтметром потечет ток. В процессе измерения регистрируется линейная зависимость () термоэлектродвижущей силы от разности температур горячего и холодного спаев. Как следует из (2.9) тангенс угла наклона  прямой  к оси абцисс равен постоянной термопары , то есть

 

 (2.10), откуда  (2.11)

 

Обработка результатов эксперимента

 

1. Построить зависимость термоэлектродвижущей силы от разности температур горячего и холодного спаев, провести через точки прямую

2. По формуле () найти отношение концентрации электронов в металлах спая термопары.

РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ.

1. Вычисление постоянной термопары  по зависимости  и случайной погрешности  осуществляется по методу наименьших квадратов (см). При этом уравнение линейной регрессии имеет вид:

где  - угловой коэффициент наклона прямой, проходящей через начало координат. Этот коэффициент находится по формуле:

 

, здесь

 

Погрешность определения углового коэффициента  находится из соотношения:

 

 

Приборная погрешность определения  складывается из систематических погрешностей измерения термоэдс и температуры и на основании зависимости  вычисляется по формуле:

 

 

где  - класс точности вольтметра,  - относительная погрешность измерения температуры. Величина  определяется по цене деления амперметра, пересчитанной в градусах.

Суммирование систематической и случайной погрешностей осуществляется по формуле () и дает:

 

 

Рабочая формула для расчета отношения концентрации носителей:

 

 

Расчет погрешности  осуществляется как расчет погрешности косвенного измерения (), в результате чего получается формула:

 

 

Вопросы для самопроверки

 

Что такое работа выхода электронов из металла?

Что такое внутренняя и внешняя контактные разности потенциалов?

В каком случае возникает термо-э. д. с. и отчего она зависит?

Что такое удельная термоэ. д. с.?

Выведите формулу для определения удельной термоэ. д. с.

В чем заключается градуировка термопары?

Выведите формулу для определения погрешности в измерении?

Лабораторная работа 2

Индуктивность

 

Цель работы: изучение закона электромагнитной индукции, расчет индуктивности короткого соленоида; проверка закона Ома для цепи постоянного и переменного тока с индуктивностью и активным сопротивлением; экспериментальное определение индуктивности короткого соленоида и магнитной проницаемости сердечника.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. При любом изменении магнитного потока  через поверхность, ограниченную проводящим контуром, между точками 1 и 2 проводника возникает электродвижущая сила индукции, численно равная скорости изменения магнитного потока (закон Фарадея):

 

 (3.1)

 

Рис.3.1

 

Из уравнения (3.1) следует, что поток магнитной индукции может изменяться как при движении контура в стационарном магнитном поле, так и за счет изменения индукции магнитного поля во времени. Знак минус выражает правило Ленца: ток в контуре имеет всегда такое направление, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызвавшего этот ток.

В отсутствии внешнего магнитного поля электрический ток: текущий в контуре: создает вокруг себя магнитное поле: индукция которого по закону Био-Савара-Лапласа пропорциональна току в контуре. Если в контуре протекает переменный ток, то сцепленный с ним магнитный поток будет изменяться во времени и между точками 1 и 2 возникает э. д. с. индукции. Данное явление называется самоиндукцией. Магнитный поток при самоиндукции пропорционален току в контуре

 

 (3.2)

 

так что закон Фарадея можно записать в следующей форме:

 

 (3.3)

 

Коэффициент пропорциональности L называется индуктивностью контура и зависит только от его геометрических размеров. Индуктивность определяется из закона Био-Савара-Лапласа в результате интегрирования по длине проводящего контура l с учетом выражения (3.2) для потока магнитной индукции:

 

, (3.4)

 

где  Гн/м - магнитная проницаемость вакуума,  - радиус-вектор: проведенный из элемента контура  в элемент  поверхности S, ограниченной данным контуром, индекс "n" означает проекцию векторного произведения на нормаль к поверхности.

2. Получим формулу для расчета индуктивности короткого соленоида, длина которого l соизмерима с его радиусом  (рис.3.2).

 

Рис.3.2

 

Индукция магнитного поля в точке 0 на оси соленоида, создаваемая участком намотки  пропорциональна числу витков на данной длине:

 

, (3.5)

 

где  - индукция, создаваемая одним витком,  - число витков на единице длины. В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа ток, протекающий в элементе  проводящего контура, создает в точке 0 индукцию

 

 (3.6)

 

Интегрируя уравнение (3.6) по длине витка, получаем выражение для индукции магнитного поля, создаваемую одним витком:

 

 (3.7)

 

В результате интегрирования уравнения (3.5) по всем значениям  в интервале от  до -  и замены переменных , получаем следующее выражение для индукции магнитного поля на оси соленоида:

 

 (3.8)

 

При вычислении индукции магнитного поля реального соленоида необходимо учитывать не только зависимость  от , но и неоднородность поля по сечению соленоида. Для расчета индуктивности короткого соленоида, магнитная индукция которого зависит от его сечения, можно использовать приближенную формулу:

 

 (3.9)

 

Для длинного соленоида ( >> ) формула (3.9) существенно упрощается и имеет следующий вид:

 

 (3.10)

 

Индуктивность катушки, заполненной магнетиком с магнитной проницаемостью, рассчитывается по формулам:

 

 (3.11)

 (3.12)

 

3. Определим величину переменного тока в цепи, состоящей из катушки индуктивности с активным сопротивлением , подключенной к источнику переменного напряжения .

 

Рис.3.3

 

В соответствии с формулами (4.11) и (4.12) этот ток изменяется по закону

 

 (3.13)

 

Амплитуда тока  и фаза определяются амплитудой, параметрами цепи ,  и частотой w:

 

 (3.14)

 

Из (3.14) следует, что ток в цепи отстает по фазе от приложенного напряжения на угол , который зависит от параметров цепи и частоты:

 

, (3.15), где

 - полное электрическое сопротивление цепи.

Зависимость амплитуды тока от  выражает закон Ома для цепи переменного тока. Если w=0, то по цепи течет постоянный ток, для которого

 

 (3.16)

 

Методика эксперимента

 

Экспериментальная установка состоит из двух источников постоянного и переменного токов: регулировка которых осуществляется потенциометром . Измерения токов  и  осуществляется амперметром .

 

Рис.3.4

 

Вольтметр  измеряет напряжение на катушке индуктивности.

В установке предусмотрены элементы, позволяющие измерять одним и тем же прибором характеристики переменного и постоянного тока.