Обработка результатов эксперимента

 

1. По формуле (4.14) определить масштабы вертикальной сетки осциллографа для различных сопротивлений нагрузки, пересчитать зависимости, полученные в п.3,4,5 с учетом этого масштаба и построить резонансные кривые контура.

2. По резонансным кривым определить:

а) резонансную частоту n_рез;

б) полосу пропускания Dn на высоте  для различных значений сопротивлений нагрузки;

в) для различных сопротивлений нагрузки определить добротность контура по формуле:

 

 (4.18)

 

г) по формуле (4.17) вычислить величину активного сопротивления индуктивности;

д) по формуле (4.16) вычислить полное активное сопротивление контура;

е) построить зависимость добротности контура от величины ее обратного активного сопротивления . Провести через точки прямую линию и найти тангенс угла ее наклона к оси ;

ж) по формуле , рассчитать значение  и сравнить с экспериментальной величиной, определенной в разделе 2е;

з) проверить закон Ома при резонансе, для чего по резонансным кривым построить зависимость ;

и) провести через полученные точки прямую, параллельную оси абсцисс, и найти амплитудное значение внешней э. д. с.

3. Используя полученные данные по формуле (4.12), рассчитать теоретические резонансные кривые и сравнить с полученными экспериментальными данными (п.1 раздел "обработка результатов").

4. По формулам (4.14) и (4.15) определить масштабы вертикальной и горизонтальной сеток осциллографа для различных сопротивлений нагрузки и построить кривые затухания по результатам раздела II п.3,4,5.

5. По кривым затухания определить:

а) период и частоту затухающих колебаний для различных сопротивлений нагрузки;

б) по формуле

 

 (4.19)

 

по известным значениям параметров контура рассчитать период затухающих колебаний и сравнить с экспериментальными значениями;

в) по формуле

 

 (4.20)

 

рассчитать несколько значений логарифмического декремента затухания для различных сопротивлений контура и найти среднее значение для каждого значения R;

г) по формуле

 

 (4.21)

 

рассчитать зависимость постоянной затухания от сопротивления контура и построить эту зависимость; через точки провести прямую и найти тангенс угла ее наклона к оси R;

д) по формуле  рассчитать значение b и сравнить с экспериментальной величиной, определенной в разделе 5г.

6. Для каждой кривой затухания, полученной в разделе III по формулам

 

,  (4.22)

 

рассчитать значения  и  и сравнить с экспериментальными данными. Выявить случаи, когда . Объяснить характер кривых.

Расчет погрешностей

 

1. Рабочая формула для расчета добротности RLC-контура:

 

 (4.18)

 

Здесь при расчетах следует учесть, что погрешность определения резонансной частоты Dn_рез и полосы пропускания D (Dn) следует считать равной суммарной приборной погрешности установки частоты генератора и погрешности определения амплитуды осциллографом, равной в нормальных условиях эксплуатации Dn_осц= ±5%, так что

 

, (4.23)

 

где , n - значение частоты в Гц, устанавливаемое на лимбе генератора. На основании (4.13) по методике расчета косвенных погрешностей получим следующую формулу для DQ:

 

, ,

 

Расчет Q и DQ проводится для каждого значения сопротивления нагрузки.

2. Рабочие формулы для расчета активного активного сопротивления катушки индуктивности:

 

,

 

Расчет погрешности осуществляется на основании формулы (4.17) и методики расчета погрешности косвенного измерения, в результате чего получаем:

 

, (4.24)

 

где  - погрешность измерения амплитуды осциллографом в нормальных условиях эксплуатации.

Зависимость (4.24) получена при условии, что номиналы сопротивлений R₁ и R₂ заданы точно. Поэтому погрешность определения суммарного сопротивления контура, вычисляемого по формуле: , равна погрешности , т.е. DR=Dr_L, а погрешность обратного сопротивления

 

.

 

3. Вычисление постоянной A в зависимости добротности контура от величины обратного сопротивления контура осуществляется методом наименьших квадратов для случая, когда прямая проходит через начало координат, используя формулу (II.8), где , .

Рабочая формула:

 

 

Погрешность определения углового коэффициента DA находится из соотношения (II.9).

4. Рабочая формула для проверки закона Ома при резонансе:

 

,  (4.25)

 

Вычисление погрешности определения среднего значения э. д. с. De осуществляется по методике расчета случайной погрешности, используя формулы (II.1) - (II.3), где , .

5. Погрешность определения периода затухающих колебаний складывается из случайной погрешности DT_сл многократного измерения по кривым затухания и систематической погрешности определения времени по осциллографу, равной в нормальных условиях работы . Поэтому результирующая погрешность, рассчитанная по методике определения полной погрешности:

 

 (4.26)

 

Величина DT_сл рассчитывается по методике определения случайной погрешности прямых многократных измерений с использованием формул (II.1) - (II.3), где , .

6. Вычисление среднего значения логарифмического декремента затухания Q и погрешности его определения DQ осуществляется по методике определения случайной погрешности, используя формулы (II.1) - (II.3), где , , а Q вычисляется по формуле:

 

 

7. Рабочая формула для определения постоянной затухания

 

 (4.29)

 

На основании (4.29) по методике определения погрешности косвенного измерения получим:

 

,

 

Расчет погрешности  и среднего  производится для каждого значения R.

8. Рабочие формулы для расчета углового коэффициента А в зависимости коэффициента затухания от величины сопротивления контура R:

 

.

 

Вычисление А и DА осуществляется методом наименьших квадратов по формулам (II.4) - (II.7), где , .

 

Вопросы для самопроверки

 

Какими физическими процессами можно описать электрические колебания, возникающие в контуре?

Сформулируйте уравнения затухающих и вынужденных колебаний в контуре.

Как определить разность фаз между током в контуре и внешней э. д. с.?

Что такое векторная диаграмма напряжений и токов? Какой вид она имеет при вынужденных колебаниях в RLC - контуре?

Определите резонансные частоты тока и напряжения на емкости при резонансе.

Сформулируйте понятия логарифмического декремента затухания и добротности контура. Как связаны данные величины между собой?

Перечислите последовательность обработки результатов эксперимента и порядок выполнения работы.

Лабораторная работа 4

Эффект Холла

 

Цель работы: изучение эффекта Холла в полупроводнике; исследование зависимости э. д. с. Холла от напряженности внешнего магнитного поля (градуировка датчика Холла); определение постоянной Холла, концентрации и подвижности носителей заряда в полупроводнике; исследование распределения магнитного поля по оси короткого соленоида; сравнение с теоретической зависимостью.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Эффектом Холла называется явление возникновения поперечной разности потенциалов в металле или полупроводнике между точками на прямой, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля  и направлению вектора плотности тока . Поперечная разность потенциалов обусловлена магнитной составляющей силы Лоренца, действующей на движущийся со скоростью  заряд:

 

 (6.1)

 

Рассмотрим действие магнитного поля на полупроводник по которому течет ток. Пусть полупроводник имеет форму параллелепипеда сечением  и длиной a. Электрическое поле направим вдоль оси x, магнитное поле вдоль оси y.

 

а)                                                          б)

Рис 6.1

 

При включении электрического поля в полупроводнике протекает ток с плотностью

 

 (6.2)

 

где s - коэффициент электропроводности.

Под действием электрического поля носители заряда получают скорость направленного движения  - дрейфовую скорость - против поля для электронов (Рис.6.1 а) и по полю для дырок (Рис.6.1 б). При включении магнитного поля на электроны и дырки действует сила , определяемая выражением (6.1), перпендикулярная  и . Из уравнения движения носителей заряда следует, что за время t между двумя соударениями электроны и дырки приобретают скорость

 

 (6.3)

 

С учетом (6.3), получаем для силы F выражение

 

, (6.4)

 

из которого следует, что сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда и действует в направлении перпендикулярном  и  (6.4).

В результате действия силы отрицательные заряды отклоняются к верхней грани, а на нижней появляется их недостаток - положительный заряд (Рис.6.1 а). Аналогично осуществляется перераспределение положительных зарядов (Рис.6.1 б). Противоположные грани образца заряжаются и возникает электрическое поле. Это поле носит название поля Холла. Направление поля Холла  зависит от знака носителей заряда. До наложения на образец магнитного поля эквипотенциальные поверхности представляли плоскости, перпендикулярные вектору . Величина  будет расти до тех пор, пока поперечное поле не скомпенсирует силу Лоренца (6.4). После этого носители заряда будут двигаться как бы под действием одного поля , и траектория движения будет представлять собой прямую линию вдоль оси x. Суммарное электрическое поле  будет повернуто на некоторый угол j относительно оси x или y.

Таким образом в ограниченном полупроводнике или металле поворачивается вектор электрического поля и между  и  возникает угол j, называемый углом Холла. Эквипотенциальные поверхности при этом повернуты на угол j относительно их первоначального положения, поэтому в точках, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной  появляется разность потенциалов , которая называется холловской разностью потенциалов.

Холл экспериментально определил, что  зависит от плотности тока, индукции магнитного поля  и свойств образца. Свойства образца определяются некоторой величиной R, называемой коэффициентом Холла. Четыре величины , ,  и R связаны эмпирическим соотношением:

 

 (6.5)

 

Коэффициент Холла или постоянная Холла определяется из условия равенства сил:

 

 (6.6)

 

Из (6.6) следует, что

 

, (6.7)

 

где  - подвижность носителей заряда.

В соответствии с (6.5), напряженность поля Холла  можно определить в виде:

 

. (6.8)

 

Сопоставляя (6.7) и (6.8) видим, что

 

, (6.9)

 

где n - концентрация носителей заряда в единице объема. Из (6.9) следует, что постоянная Холла обратно пропорциональна концентрации носителей заряда и ее знак совпадает со знаком носителей заряда. Поле Холла (6.8) приводит к появлению э. д. с. Холла V_x, которая с учетом выражения (6.9) и геометрических размеров имеет вид:

 

, (6.10)

 

где  - ток через датчик.

В реальном кристалле полупроводника носители рассеиваются на примесях и колебаниях решетки. Учет данных процессов для полупроводников с собственной а) и примесной б) проводимостью приводит к следующему выражению для R:

 

а) , б) , (6.11)

 

где e - заряд электрона, ,  - подвижности электронов и дырок, n и p - их концентрации. Знак постоянной Холла позволяет определить тип преимущественной проводимости полупроводника.

Методика эксперимента

 

Установка содержит механическую систему перемещения датчика Холла вдоль оси соленоида с фиксацией его положения, блок питания БП-1 соленоида, стрелочный прибор для регистрации тока соленоида и электронную схему измерения тока датчика Холла и холловскую э. д. с. (Рис.6.2). При определении э. д. с. Холла следует учесть сопутствующие эффекту Холла гальваномагнитные, термомагнитный и другие эффекты, которые являются четными по полю, то есть не зависят от направления вектора индукции B. Данное обстоятельство используется для их исключения - холловскую э. д. с. измеряют при двух направлениях магнитного поля, изменяя его направление переключателем П1.

 

Рис.6.2

 

При прямом направлении поля B⁺ напряжение между холловскими контактами , при обратном , что после вычитания дает:

 

, (6.12)

 

то есть V_доб, обусловленное четными эффектами исключено.

Из формулы (6.10) следует, что зависимость э. д. с. Холла от индукции магнитного поля V_x ( B) имеет линейный характер. Поэтому тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс, вдоль которой ориентирована индукция поля, определим в следующем виде:

 

 (6.13)

Равенство (6.13) позволяет вычислить постоянную Холла:

 

 (6.14)

 

В реальных кристаллах постоянная Холла зависит от концентрации по закону, определяемому соотношением (6.11а), из которого можно определить с учетом (6.14) концентрацию носителей заряда в единице объема:

 

. (6.15)

 

В положении переключателя "ПРОВ" определяется удельное электрическое сопротивление кристалла датчика r по измеренному падению напряжения V к величине тока i:

 

 (6.16)

 

Так как плотность тока , где m - подвижность носителей тока и , то

 

 (6.17)