Лабораторная работа 5.

Электростатическое поле

 

Цель работы: изучение основных свойств и характеристик электростатического поля и метода его моделирования; построение силовых линий и эквипотенциалей плоского поля в заданной системе электродов; изучение взаимосвязи между потенциалом и напряженностью; экспериментальное определение ёмкости системы электродов и распределения поля между ними.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

Электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле и через поле осуществляет взаимодействие с другими зарядами. Между зарядами действуют кулоновские силы величина и направление которых зависит от формы и размеров наэлектризованных тел и характера распределения зарядов на них. Для точечных электрических зарядов кулоновская сила взаимодействия имеет вид:

 

, (1.1)

 

=10 /36p Ф/м - диэлектрическая постоянная,  - единичный вектор направления. В каждой точке пространства электрическое поле характеризуется напряженностью Е и потенциалом.

Напряженностью электростатического поля в данной точке называется векторная величина, численно равная отношению силы, действующей в данной точке на пробный заряд (т.е. точечный заряд достаточно малый, чтобы не искажать исследуемое поле) к величине этого заряда;

, (1.2)

 

Направление вектора напряженности совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд

Напряженность поля является силовой характеристикой электростатического поля. Единица измерения напряженности вольт на метр (В/м)

Линией напряженности (силовой линией) является кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором Е. Силовые линии электростатического поля начинаются и заканчиваются на зарядах или на бесконечности. С помощью линий напряженности удобно изображать поле графически. В расположении и форме этих линий сказывается все особенности данного поля.

Потенциалом поля в данной точке называется скалярная величина, численно равная отношению потенциальной энергии пробного заряда в указанной точке к величине этого заряда

 

, (1.3)

 

За единицу потенциала принят один вольт (В=1Дж/Кл)

Точки постоянного потенциала образуют в пространстве эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальные поверхности в однородной среде всегда перпендикулярны силовым линиям. Связь между потенциалом и напряженностью задается в виде:

, (1.4)

 

где  - орты декартовой системы координат,

 

, ,

 

т.е. каждая декартовая составляющая вектора Е численно равна изменению потенциала на единицу длины, отсчитанному в направлении, перпендикулярном эквипотенциальной поверхности, и направлена в сторону убывания потенциала.

Выражение (1.4) называется градиентом потенциала и обозначается кратко .

В силу потенциальности электростатического поля работа по перемещению заряда не зависит от формы пути, а определяется только положением начальной и конечной точки траектории.

В электростатическом поле выполняется принцип суперпозиции полей

Пример: точечный заряд

 

Рис.1.1

 

 (1.5),  (1.6)

 

Сообщенный проводнику заряд  распределяется на его поверхности таким образом чтобы напряженность поля внутри проводника равнялась нулю. Потенциал уединенного проводника пропорционален величине заряда

 

, (1.7)

 

Величина  называется электрической емкостью проводника. При приближении к проводнику других проводников на них появляются наведенные заряды (это явление называется электростатической индукцией) и потенциал уменьшается, емкость возрастает. Система проводников называется конденсатором, собственно проводники - обкладками.

Величина емкости конденсатора зависит от разности потенциалов между обкладками:

 

, (1.8)

 

и определяется формой, размером обкладок и расстоянием между ними.

Примеры

а) Плоский конденсатор. Поле однородно без учета краевых эффектов при d<<a,h

 

,

, , (1.9)

 

0 2b

б) Распределение поля вдоль оси ОХ

 

, (1.10) a d h Ёмкость единицы длины , (1.11)

 

в) Распределение поля вдоль оси ОХ

 

, Емкость единицы длины: , (1.11)

Рис.1.2

 

Электростатическое поле в диэлектрике подобно полю постоянного тока в проводящей среде при одинаковой конфигурации электродов. Если потенциалы электродов в обоих случаях одни и те же, распределение потенциала в диэлектрике такое же, как и в проводящей среде с током.

Подобие полей видно из следующего сопоставления теорем Гаусса и для электростатического поля и уравнения непрерывности для квазистационарного тока

 

, (1.12)

 (1.13)

 

В которых  - нормальная составляющая к замкнутой поверхности  - заряды внутри поверхности,  - нормальная к замкнутой поверхности  составляющая плотности тока,  - объемная плотность заряда в проводнике.

Если  и  (медленно меняющийся ток),

 

, (1.14)

, (1.15)

 

Имеется подобие и между граничными условиями. На границе раздела диэлектриков тангенциальная и нормальная составляющие вектора напряженности электрического поля подчиняются условиям

 

;

 

В проводящей среде непрерывность тангенциальных составляющих следует из потенциальности поля тока. Граничные условия для нормальных составляющих вектора плотности тока

 

 

следуют из уравнения непрерывности

Из подобия граничных условий следует, что проводящая среда с током может служить моделью для исследования электростатического поля, если проводимость  среды заменить диэлектрической проницаемостью , заданной для моделируемого диэлектрика, а электроды в обоих случаях расположить одинаково. Поле в неоднородном диэлектрике, различные области которого имеют неодинаковую диэлектрическую проницаемость, можно также моделировать на проводящей среде, если подобны распределения  и . Измерить распределение потенциала в проводящей среде проще, чем в диэлектрике, поэтому исследование на модели зачастую предпочтительнее, чем на электростатическом оригинале. Одной из задач электростатики, которая может быть решена с помощью моделирования, является определение емкости. Емкость  исследуемой системы можно найти, измерив распределение потенциала в проводящей модели и вычислив его градиент (напряженность поля Е). Расчетная формула для емкости получается, если в определении емкости заменить заряд, по теореме Гаусса, потоком вектора электрического смещения через замкнутую поверхность:

 

, (1.16)

 

Тогда емкость

 

, (1.17)

 

Поток вычисляют по замкнутой эквипотенциальной поверхности, охватывающей электрод моделируемой системы, с использованием найденных на проводящей модели значений нормальной компоненты вектора напряженности . Разность потенциалов  берется равной напряжению между электродами модели, диэлектрическая проницаемость - значению, заданному для моделируемого диэлектрика.

Методика эксперимента

Описанная идея моделирования сравнительно легко реализуется для плоских полей (рис.1.3) методом электролитической ванны. Неглубокая ванна из изоляционного материала заполнена электролитом - слабым раствором соли в воде.

 

Рис 1.3

 

В ванну помещают электроды 1 и 2, конфигурация которых соответствует конфигурации обкладок конденсатора, а размеры пропорциональны размерам обкладок, чем обеспечивается геометрическое подобие. В электролите есть свободные заряды. Под действием поля электродов они могут и создавать свое поле, в результате чего устанавливается в электролите поле, равное сумме поля электродов и свободных зарядов, которое моделирует поле реальной системы

Моделируют плоские поля, такие, потенциал и напряженность которых зависят лишь от двух координат. Плоским является поле в коаксиальном конденсаторе вдали от его концов, в двухпроводной длинной линии, между одиночным проводом и проводящей поверхностью и т.п.

Для измерения потенциала в модели используют зонд (небольшой электрод в виде металлического стержня, соединенного через микроамперметр с подвижным контактом потенциометра Д. Четыре участка цепи - два между движком потенциометра и его концевыми контактами и два между зондом и электродами образуют мост постоянного тока. Ток в диагонали моста равен нулю, когда зонд установлен в точку, потенциал которой совпадает с потенциалом движка потенциометра. Разность потенциалов между нижним контактом потенциометра и его движком измеряют вольтметром.

В результате измерения получают систему эквипотенциалей с заданным шагом (рис.1.4 штриховые линии). „Для построения линий напряженности (силовых линий) используют следующий прием (рис.1.4). Проводят линию, соединяющую электроды, так, чтобы она совпала с осью симметрии поля. Из точки О на поверхности электрода измеряют расстояние 01 до ближайшей эквипотенциали. Это расстояние откладывают вдоль поверхности электрода, получая таким образом точку 1' на электроде. Через точку проводят отрезокперпендикулярно поверхности электрода. Откладывают расстояние 1'2' вдоль поверхности электрода и т.д. Построение закапчивают, дойдя до оси симметрии. Аналогичное построение производят от точки О в другую сторону (каждое построение следует заканчивать таким образом, чтобы длина последнего до оси симметрии отрезка на поверхности электрода была больше длины предпоследнего). Разделив таким образом ближайшую к электроду эквипотенциаль, через полученные точки (1; 2; 3;...; ) проводят перпендикулярные ей отрезки до пересечения со следующей эквипотенциально. Когда все эквипотенциали окажутся разделенными, полученные точки следует соединить плавными кривыми, соблюдая их ортогональность эквипотенциальным линиям в точках пересечения. Для вычисления потока вектора напряженности следует представить, что ближайшая к электроду замкнутая эквипотенциаль является деформированным цилиндром, образующая которого перпендикулярна плоскости. Напряженность поля считается в пределах каждого отрезка эквипотенциали постоянной и вычисляется по формуле:

 

, (1.18)

 

где ,  - значения потенциалов на ближайших эквипотнциалях,  - расстояние между соседними точками на ближайших эквипотнциалях.

Полагая напряженность поля , в пределах каждого отрезка эквипотенциали примерно одинаковой, можно вычислить элемент потока вектора напряженности:

 

,

 

Тогда полный поток вектора напряженности равен:

 

 (1.19)

 

где  - высота цилиндра;  измеряют из построения, это секция эквипотенциальной поверхности между двумя соседними точками. Напряженность , вычисляют по формуле

 

, (1.20)

 

здесь , определяют из построения поля как расстояние между средними точками отрезков на поверхности электрода и на ближайшей эквипотенциали;  и  - значения потенциалов на электроде и на эквипотенциали. Заряд, заключенный внутри замкнутой эквипотенциальной поверхности (цилиндра), вычисляют по теореме Гаусса:

 

, (1.21)

 

Из последней формулы легко вычислить емкость единичной длины (погонная емкость) моделируемой системы:

 

, (1.22)

 

Рис.1.3