Краевая задача и ее оператор

Уравнения в частных производных математической физики распадаются на два большие класса. Уравнения первого класса описывают процессы, в которых искомые величины заметно меняются с течением времени, то есть являются функциями пространственных координат и времени. Наиболее простой и важный представитель этого класса – волновое уравнение, частным случаем которого является уравнение колебания струны. Другой важный пример – уравнение теплопроводности.

Уравнения второго класса описывают явления стационарные. Чаще всего эти уравнения принадлежат к эллиптическому типу. Одна из простейших стационарных задач – задача о распределении температуры в ограниченном теле  с границей  в случае отсутствия в теле источников тепла. Температура тела  удовлетворяет уравнению Лапласа с тремя независимыми переменными

                                                                     (1)

Принимаем, что на границе  тела  температура - известная функция координат (краевые условия 1 рода):

                                                                       (2)

Задачу о распределении температур можно сформулировать так:

Найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа (1) внутри области  и принимает заданные значения (2) на ее границе  (Задача Дирихле для уравнения Лапласа).

Условия на границе могут быть и другого типа. Если поток тепла через границу пропорционален разности температур внешней среды  и границы тела  (  – внешняя нормаль к поверхности тела ), то получаем условия 3-ого рода:

     или                      (3)

Если в условии (3) положить , то получаем краевое условие 2-ого рода

                                            (4)

Задача интегрирования уравнения (1) с условием (4) называется задачей Неймана.

С краевой задачей математической физики можно связать некоторый оператор – «оператор данной краевой задачи», действующий в подходящем гильбертовом пространстве. При этом данная задача может быть записана в виде уравнения

                                                    (5)

где  – оператор краевой задачи,  и  – элементы гильбертова пространства. Пример такой операторной задачи – однородная задача Дирихле для уравнения Пуассона (неоднородного уравнения Лапласа):

                       (6)

Решение задачи (6) ищем во множестве (линеале)   функций, обладающих следующими свойствами: , . На множестве М оператор  действует по формуле:

                                                                   (7)

 Формула интегрирования по частям и формулы Грина

При рассмотрении вариационных методов широко используются следующие соотношения.

Для функций  в  – мерной области  с кусочно-гладкой границей  ( - вектор внешней нормали к поверхности ) справедлива формула интегрирования по частям:

         (8)

Рассмотрим далее дифференциальный оператор:

                   (9)

Первая формула Грина

    (10)

Вторая формула Грина

      (11)

Третья формула Грина

(12)

Соответствующие формулы Грина для оператора Лапласа

     (10`)

   (11`)

         (12`)