Свойства простейших процессов

 

Среди Марковских процессов важное практическое значение имеет так называемый простейший или Пуассоновский поток событий, который обладает 3-мя важными свойствами:

1. Стационарность;

2. Отсутствие последействия;

3. Свойство ординарности.

Это свойство состоит в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участки времени длиной  зависит только от длины этого участка и не зависит от того, где именно но оси  расположен этот участок.

Это означает, что интенсивность или плотность потока отказов для простейшего потока является величиной постоянной.

 

, . (30)

 

Для первого и второго случаев стабилизация потока отказов происходит с определённого момента времени, для третьего случая – на каждом интервале. Поэтому такой поток событий считается стационарным.

Для стационарного потока число событий за интервал  в общем виде определяется:

. (31)

Пример: По данным наблюдений наработка до первого отказа подвески автомобиля МАЗ-509, работающего в тяжёлых условиях, составляет =7 тыс. км. Коэффициент восстановления ресурса после ремонта =0,47.

=250 км, =40 автомобилей.

Определить число отказов подвески автомобилей МАЗ-509, поступающих на посты ремонта за сутки.

 

 

 

 

Отсутствие последействия

Состоит в том, что вероятность появления того или иного числа отказов в любом промежутке времени  не зависит от появления событий в предшествующий момент времени.

Свойство ординарности

Состоит в том, что вероятность попадания на элементарный отрезок времени  двух или более событий одновременно мало вероятно по сравнению с появлением одного события.

Поток событий, у которого выполняются все три условия, называется простейшим или Пуассоновским.

На практике суммирование 6-8 элементарных потоков приводит к образованию простейшего или близкого к нему потока событий.

Для простейшего потока вероятность возникновения определяемого числа отказов в течение времени t определяется по закону Пуассона:

, (32)

 

где  - параметр потока отказов;

 - число отказов;

 - время

Можно принять  ч, тогда  - среднее число отказов за 1ч,

 

. (33)

 

В ранее рассмотренном примере было установлено, что в среднем в смену на посты ремонта будет поступать 3 отказа подвески автомобиля. Но т.к. отказы по отдельным автомобилям возникают случайно, то фактическое число отказов будет отличаться от среднего. Используя формулу Пуассона, определим вероятность возникновения различного числа отказов:

, , , , , ,

 

, , .

 

Рисунок 4. Вероятность возникновения отказов

Из рисунка 4 видно, что при среднем числе требований на ремонт = 3, вероятность того, что в некоторые смены число требований меньше среднего, т.е. < 3, будет 42%, равно среднему – 22%, больше среднего – 36%. Следовательно расчёт площадей производственных помещений, оборудования, рабочей силы исходя из средней потребности может вызвать или неполную загрузку оборудования или необходимость ожидания автомобилей в очереди.

В зависимости от стоимости простоя автомобиля в ожидании ремонта, а рабочей силы и оборудования в ожидании автомобилей, требующих ремонта, определяют оптимальную пропускную способность постов, участков, цехов ТО и Р. Эта задача решается с использованием теории массового обслуживания.

Характерным признаком закона Пуассона является равенство среднего и дисперсии:

 

. (34)

 

Коэффициент вариации:

. (35)

 

С увеличением среднего числа отказов, поступающих на посты, коэффициент вариации сокращается, и закон распределения становиться более симметричным, что благоприятно сказывается на организации ТО и Р автомобилей:

среднее число отказов 1 2 3 4 5 9 25

коэффициент вариации 1 0,71 0,58 0,50 0,45 0,30 0,22

Следовательно, централизация ТО и Р, которая приводит к увеличению программы работ, является одним из направлений совершенствования технической эксплуатации автомобилей.

Циклические процессы

 

Если в Марковском процессе с непрерывным временем дискретные состояния связаны между собой в одно кольцо и имеют односторонние переходы, то такой процесс называется циклическим.

 

S4

S3

S1

S2

 

 

Рисунок 5. Циклический процесс: S1 – автомобиль исправен и работает; S2 – автомобиль ожидает ремонта; S3 – автомобиль находится в ремонте; S4 – автомобиль исправен и ожидает работы после ремонта.

 

Плотности вероятностей перехода из одного состояния в другое  односторонние.

Для предельных вероятностей:

 

. (36)

 

При переходе из 1-го состояния во 2-е:

 

; (37)

 

при переходе из 2-го в 3-е:

 

; (38)

при переходе из 3-го в 4-е:

 

; (39)

 

при переходе из 4-го в 1-е:

 

. (40)

 

Решая эту систему получим:

; (41)

 

; (42)

 

; (43)

 

. (44)

 

Т.к. рассматриваемый процесс Пуассоновский, среднее время пребывания системы:

; (45)

 

; (46)

; (47)

 

; (48)

 

. (49)

 

2.4 Определение для заданных условий вероятности нахождения автомобиля в состояниях S1, S2, S3, S4.

 

 

 

 

Заданный объём перевозок определяет поток требований на ТО и ремонт. Для нашего случая вероятность нахождения автомобиля в ремонте 19%, а вероятность нахождения автомобиля в ожидании ремонта 13%. Чтобы автомобиль меньше времени ожидал ремонта нужно добиться повышения пропускпой способности поста. Этого можно добиться, используя более производительное оборудование и рациональную организацию процессов ТО и ремонта.

Для маркетинговой службы нужно добиться снижения вероятности нахождения автомобиля в ожидании работ. Для моего случая она составляет 14%. Маркетинговой службе нужно искать клиентов, пользующихся услугами предприятия, расширять ассортимент выполняемых услуг и т.п.