Приближенные методы анализа структурной надежности

Метод разложения

Несколько менее трудоемким является метод, основанный на разложении структуры сети относительно какого-нибудь ее элемента (метод разложения Шеннона ‑ Мура). Идея этого метода заключается в том, чтобы свести анализируемую структуру к последовательно-параллельным соединениям [2] и тем самым избежать полного перебора состояний. Для примера рассмотрим сеть простейшей структуры в виде мостика (рисунок 1.1). Рисунок 1.1. Метод разложения

Для простоты положим, что узлы этой сети идеально надежны, а ветви имеют конечную надежность рi, i = . Нумерация ветвей приведена на рисунке. Проделаем с элементом под номером 5 (“ перемычка ” мостика) два опыта – “ короткого замыкания ”, соответствующий исправному состоянию элемента, и “ холостого хода ”, соответствующий его неисправному состоянию. Если перемычка находится в исправном состоянии, что случается с вероятностью p5, то соединяемые ею узлы можно “ стянуть ” в смысле надежности (рисунок 1.1) и сеть будет иметь вид двух последовательно соединенных и параллельно включенных пар ветвей [3]. Если перемычка находится в неработоспособном состоянии, что случается с вероятностью 1 – p5, то оставшаяся сеть будет иметь вид параллельного соединения цепочек.

Таким образом, мы “ разложили ” сеть относительно элемента 5, в результате чего получили две подсети с числом элементов на единицу меньше, чем в исходной сети. Поскольку обе подсети представляют собой последовательно-парал­лельные структуры, то можно сразу записать искомое выражение для вероятности связности сети относительно узлов r, l, используя для компактности обозначение :

.

В более сложных структурах может потребоваться неоднократное применение теоремы разложения. Так, на рисунке 1.2 показано разложение относительно элемента 7 (верхняя строка), а затем по элементу 8 (нижняя строка). Получившиеся четыре подсети имеют последовательно-параллельные структуры и больше не требуют разложений. Легко видеть, что на каждом шаге число элементов в получающихся подсетях уменьшается на единицу, а число подсетей, требующих дальнейшего рассмотрения удваивается. Поэтому описанный процесс в любом случае конечен, а число результирующих последовательно-параллельных структур составит 2m, где т — число элементов, по которым пришлось провести разложение. Трудоемкость этого метода можно оценить величиной 2m, что меньше трудоемкости полного перебора, но все еще неприемлемо для расчета надежности реальных сетей коммутации.

Рисунок. 1.2. Последовательное разложение сети