Численные методы аппроксимации и интерполяции функций

Задание

 

Найти интерполяционный полином второго порядка

 

 

методом неопределённых коэффициентов, используя данные нулевого, второго и четвёртого опытов.

Найти аппроксимирующий полином первого порядка

 

 

методом наименьших квадратов.

Исходные данные

              0            1            2                     3            4

xi	0,1	0,3	0,5	0,8	1
yi	0,3	0,55	0,65	0,4	0,25

 

Метод неопределенных коэффициентов

 

Метод неопределённых коэффициентов реализуется подстановкой полинома  в систему:

 

где 0, 2, 4 номера заданных точек.

Подставим значения неизвестных из таблицы в систему:

 

 (2.1.1.)

 

Решим полученную систему методом Гаусса.

 

 (2.1.2.)

 

Прямой ход

Все уравнения системы являются нормированными, поэтому сразу вычтем из второго и третьего уравнения первое, чтобы исключить из системы а₀.

 

          (2.1.3.)

           (2.1.4.)

 

В итоге получаем систему уравнений:

 

    (2.1.5.)

Рассмотрим систему (2.1.5.) без первого уравнения.

 

          (2.1.6.)

 

Нормируем первое уравнение системы (2.1.6.):

 

            (2.1.7.)

 

Умножим уравнение (2.1.7) на коэффициент при а₁ второго уравнения системы (2.1.6.):

 

      (2.1.8.)

 

Вычтем полученное уравнение (2.1.8.) из второго уравнения системы (2.1.6.), чтобы исключить из системы а_1:

 

  (2.1.9.)

 

В результате получим эквивалентную систему линейных алгебраических уравнений

 

 (2.1.10.)

 

Нормируем последнее уравнение системы (2.1.10.)

 (2.1.11.)

 

Получим систему, приведенную к треугольному виду.

 

(2.1.12.)

 

Обратный ход

а₂ = -1,861;

а₁ = 0,875–0,6·(-1,861) = 1,992;

а₀ = 0,3–0,01·(-1,861) – 0,1·1,992= 0,119

В итоге мы получаем интерполяционный полином второго порядка:

у = = -1,861 х²+1,992 х+0,119

 

Построим график интерполяционного полинома. Для этого вычислим его значения в определенных точках.

 

xi	0,2	0,3	0,4	0,6	0,7	0,8	0,9
yi	0,44	0,55	0,62	0,64	0,60	0,52	0,40

Метод наименьших квадратов

 

Метод наименьших квадратов реализуется с помощью, так называемой системы нормальных уравнений, имеющих матричный вид:

 

 = 2,7

= 1,99

 = 2,15

 

Выполним умножение матриц. Система нормальных уравнений примет вид:

 

    (2.2.1)

 

Решим систему методом Гаусса.

Прямой ход

Нормируем первое уравнение системы (2.2.1)

 

(2.2.2)

 

Умножим полученное уравнение (2.2.2) на коэффициент при а₀ во втором уравнении

 

      (2.2.3)

 

Вычтем уравнение (2.2.3) из второго уравнения системы (2.2.1), чтобы исключить а₀ из системы.

 

   (2.2.4)

0,532а₁ = -0,071

 

Получим новую систему уравнений:

 

        (2.2.5)

 

Нормируем второе уравнение системы (2.2.5)

 

     (2.2.6)

 

В результате получим систему линейных уравнений треугольного вида.

 

 (2.2.7)

 

Обратный ход:

а₁ = -0,133

а₀ = 0,43–0,54·(-0,133) = 0,502

Решив полученную систему, мы получили коэффициенты аппроксимирующего полинома первого порядка.

Полином будет иметь вид:

y = -0,133х+0,502

Численные методы решений нелинейных уравнений.

Исходные данные

 

Уравнение	Отрезок	Шаг
	[0; 1]	0,2

 

Отделение корней

 

Определим корни уравнения  на отрезке [0; 1] с шагом 0,2

Подставим в функцию значение х, равное 0:

 

 

Подставим в функцию значение х, равное 0,2:

 

 

Подставим в функцию значение х, равное 0,4:

 

 

Подставим в функцию значение х, равное 0,6:

 

 

Подставим в функцию значение х, равное 0,8:

 

Подставим в функцию значение х, равное 1:

 

 

Из анализа полученных данных следует, что функция меняет знак на интервале [0,4; 0,6], следовательно, этот частичный интервал является интервалом изоляции корня, то есть на этом интервале существует корень, и при том единственный.