Уточнение корней методом половинного деления

 

Уточним корни уравнения с точностью ε  0,001

1) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

 

 

Выполним проверку |f(c)|  ε → |0,066|  0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

 

f(a)∙f(c) = f (0,4)∙ f (0,5) = (+)∙(+) = (+)

 

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем а = c = 0,5

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,5; 0,6]

2) Определим новое приближение корня к середине отрезка

 

 

Определим значение функции в точке с:

 

 

Выполним проверку |f(c)|  ε → |0,013|  0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

 

f(a)∙f(c) = f (0,5)∙ f (0,55) = (+)∙(+) = (+)

 

Смена знака не происходит, значит на этом интервале корня нет, следовательно корень находится на правой половине интервала изоляции корня.

Принимаем a = c = 0,55

В качестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,6]

3) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

 

 

Выполним проверку |f(c)|  ε → |-0,013|  0.001 – нет

Найдем интервал, в котором находится корень:

f(a)∙f(c) = f (0,55)∙ f (0,575) = (+)∙(–) = (–)

Смена знака произошла, следовательно, корень находится на левой половине интервала изоляции корня.

Принимаем b = c = 0,575

 

В ачестве нового приближения выбираем интервал [a; b] = [0,55; 0,575]

4) Определим новое приближение корня к середине отрезка

Определим значение функции в точке с:

 

 

Выполним проверку |f(c)|  ε → |0,000|  0,001 – да.

 

Необходимое условие достигается на четвёртом приближении, где х = 0,563

Ответ: х = 0,563

 

Уточнение корней методом Ньютона

 

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

 

 

Проверим условие сходимости в точке b = 0,6:

 

 

1) За начальное приближение к корню принимаем значение х₀, равное 0,6

Вычислим первое приближение:

 

 

Погрешность вычисления:

Приближенное значение корня х = 0,563

Ответ: х = 0,563

Уточнение корней методом простых итераций

 

Приведем уравнение к каноническому виду.

 

 

За начальное приближение принимается тот из концов отрезка [0,4; 0,6], на котором выполняется условие сходимости (смотри пункт 3.2).

Проверим условие сходимости в точке а = 0,4:

 

Примем за нулевое приближение неизвестных значение

Выполним первую итерацию

Найдем значение

 

 

Выполним проверку:

|x₁-x₀| = |0,5484 – 0,4| = 0,1484 < 0,001 – нет

Выполним вторую итерацию

Найдем значение

 

Выполним проверку:

|x₂-x₁| = |0,5612 -0,5484| = 0,0128  0,001 – нет

Выполним третью итерацию

Найдем значение

 

 

Выполним проверку:

|x₃-x₂| = |0,5627 – 0,5612 | = 0,0015  0,001 – нет

Выполним четвёртую итерацию

Найдем значение

 

 

Выполним проверку:

|x₁-x₀| = |0,5629 – 0,5627| = 0,0002  0,001 – да

Приближенное значение корня х = 0,5629

Численные методы вычисления определенных интегралов

 

Исходные данные

 

Интеграл	Шаг	Точность
		0,001

 

Вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

 

 

Вычислим значения подынтегральной функции в точках разбиения x_i, где i = 0,1,2..n.

 

0 0,4142

0,0985 0,5345

0,1989  0,6682

0,3033 0,8207

1

 

Результаты сведены в таблицу:

 

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8
x	0

F( x )