Уравнение колебаний струны
Введение
Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом "Интегральном исчислении" Л. Эйлера. Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений. Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование. Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.
Глава 1. Уравнения гиперболического типа Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа
Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа
называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.
Уравнение колебаний струны
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до . Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени. Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Рис. 1.1.
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости , то будем предполагать, что длина элемента струны равняется ее проекции на ось Ox, т.е. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т. Рассмотрим элемент струны .
Рис. 1.2.
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы . Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент , будет равна . Так как угол мал, то можно положить , и мы будем иметь:
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках). Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть - линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
.
Сокращая на и обозначая , получаем уравнение движения
.(1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны , и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:
(2’) (2’’)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи. В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть
(3’)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией . Таким образом, должно быть
(3’’)
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями. Замечание. В частности, может быть или . Если же и , то струна будет находится в покое, следовательно, .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (171)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |