Метод разделения переменных. Уравнение свободных колебаний струны
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
(9)
и начальным условиям
(10)
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение. Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям
(11)
и представимое в виде произведения
(12)
где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t. Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:
или, после деления на XT,
(13)
Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение
(14)
где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)
(15) (16)
Граничные условия (11) дают:
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:
X(0) = X( ) = 0, (17)
Так как иначе мы имели бы
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет. Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:
(18)
а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля. Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен. 1. При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид
Граничные условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
т. е.
Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно, так что . Поэтому
С1 =0, С2 = 0
и, следовательно,
Х (х) 0.
2. При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид
Х (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:
т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,
Х (х) 0.
3. При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде
Граничные условия дают:
Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2 0, поэтому
(19)
Или
где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
где Dn – произвольная постоянная. Итак, только при значениях , равных
(20)
существуют нетривиальные решения задачи (11)
(21)
определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)
(22)
где An и Bn – произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
(23)
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x). Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
(24)
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)
(25)
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье
(26)
где
(27)
Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
(28) (29)
Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить
(30)
чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи. Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10). Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а - один раз дифференцируемой.
Решение уравнений
1. Найти решение уравнения:
, если , .
Решение: Так как , а , то
,
где . Таким образом, , или . 2. Найти форму струны, определяемой уравнением в момент , если
3. , .
Решение: Имеем
,
т.е.
, или .
Если , то , т.е. струна параллельна оси абсцисс. 4. Струна, закрепленная на концах и , имеет в начальный момент форму параболы .
5. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют. Решение: Здесь , . Находим коэффициенты ряда, определяющего решение уравнения колебания струны:
; .
Для нахождения коэффициента дважды интегрируем по частям:
, , , ; ,
т.е.
, , , ; = .
Подставляя выражения для и получим:
.
Если , то , а если , то ; поэтому окончательно имеем
Пусть начальные отклонения струны, закрепленной в точках и , равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
Определить форму струны для любого момента времени t. Решение: Здесь , а в интервале , и вне этого интервала. Следовательно, ;
Отсюда
Или
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (366)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |