ИЗМЕРЕНИЕ УПРУГИХ И ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДУЛЕЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА И АНТИРЕЗОНАНСА

 

    Цель работы : ознакомиться с тензорным методом описания физических свойств кристаллов и резонансным методом измерения упругих и пьезоэлектрических свойств

1. Методические указания по подготовке к работе

Тензорное описание физических свойств  кристаллов

 

    Известно, что кристаллические тела являются анизотропными материалами, т.е. их свойства (электрические, механические и др.) обычно неодинаковы в различных направлениях. Поэтому большинство свойств кристаллов описывается с помощью таких таблиц, в которых значение характеризует данное свойство в заданном направлении. Такие таблицы могут содержать различное число параметров и называются тензорами. При этом считают, что векторы и скаляры являются частными случаями тензоров, так как вектор можно задать в виде таблицы, состоящей из трех проекций вектора на оси координат, а скаляр задается таблицей, состоящей из одного коэффициента. Число коэффициентов, входящих в состав тензора, можно всегда представить в виде целой степени числа 3. Показатель этой степени носит название ранга тензора. Так скаляр есть тензор нулевого ранга (3⁰ = 1), а вектор – тензор первого ранга (3¹ = 3).

    Такие свойства кристаллов, как электропроводность, диэлектрические свойства, магнитные свойства в общем случае, можно описать лишь с помощью тензора второго ранга, содержащего 9 коэффициентов (3² = 9).

    Рассмотрим, например, диэлектрические свойства кристаллов, характеризуемые диэлектрической проницаемостью e. Пусть Е – вектор  напряженности электрического поля, а D – вектор электростатической индукции. В изотропном теле вектор D параллелен вектору E, поэтому

                                                                                                  (1)

 

    Данное уравнение можно переписать в следующем виде:

                                                                                            (2)

    Для анизотропной среды соотношения между векторами D и E получаются более сложными, так как указанные векторы уже не параллельны друг другу. Это означает, что в общем случае каждая компонента вектора D является комбинацией всех компонент вектора E

                                                               (3)

  В кристаллографии для удобства записи обычно оси координат обозначают не X , Y , Z , а X ₁ , X ₂ , X ₃ соответственно. Причем при написании уравнений, описывающих анизотропию физических свойств кристаллов, принято проекции вектора A`на оси координат X_i обозначать как A_i, где i = 1, 2, 3. С учетом принятых в кристаллографии обозначений, уравнение (3) можно переписать в виде

                                                                (4)

    Последнее уравнение можно переписать в сокращенном виде

                                                                                                

где i = 1, 2, 3.

    И, наконец, для удобства, входящий в выражение знак суммы принято опускать и считать, что использование в правой части уравнений одинаковых индексов означает суммирование по этим индексам, а сам повторяющийся индекс называют немым индексом.

    С учетом всех принятых обозначений систему уравнений (4) можно представить в виде

                                                                                                    

где i , j = 1, 2, 3.

    Для выяснения физического смысла коэффициентов e _ij допустим, что электрическое поле Е приложено только вдоль оси X₁, т.е. E = E ₁ , E ₂ = E ₃ = 0. Тогда из уравнений (4) следует, что D ₁ = e ₁₁ E ₁ , D ₂ = e ₂₁ E ₂ , D ₃ = e ₃₁ E ₃ . Несмотря на то, что электрическое поле приложено только вдоль оси X ₁, вектор электростатической индукции D имеет компоненты не только вдоль оси X ₁, (компонента D ₁), но и вдоль направления других осей. Данное рассмотрение позволяет сказать, что в общем случае диэлектрическая проницаемость e _ij характеризует компоненту вектора электрической индукции D вдоль оси X_i, если вектор напряженности электрического поля E направлен вдоль оси X_j.

    Диэлектрическая проницаемость кристаллов описывается тензором диэлектрической проницаемости 2-го ранга:

                                                                                              

    Если кристалл обладает некоторой симметрией кристаллической решетки, то число независимых коэффициентов в описании тензора уменьшается, причем часть коэффициентов может быть равна нулю. В частности, для изотропного тела тензор диэлектрической проницаемости принимает вид

                                                                                                    

    Данный тензор содержит всего один независимый элемент. Воздействие внешней силы на физическое тело также характеризуется тензором второго ранга. Если тело находится под действием внешней силы, то говорят, что это тело находится в напряженном состоянии. Величина, определяемая как отношение величины действующей силы к единице площади поверхности тела, на которую воздействует сила, получила название механического напряжения.

    Рассмотрим находящийся внутри тела единичный куб с ребрами, параллельными осям координат. Если тело находится в напряженном состоянии, то на каждую грань этого куба будут действовать силы со стороны внешних по отношению к нему (выбранному кубу) частей тела. Силу, приложенную к каждой грани куба, можно разложить на три компоненты, параллельные осям. При этом силы, действующие на две любые параллельные грани, равны по величине и противоположны по направлению. Обозначим через s _ij компоненты силы, действующей в направлении оси X_i на две любые грани рассматриваемого куба, перпендикулярные оси X_i. Тогда, очевидно, s ₁₁ , s _22, s ₃₃ – нормальные компоненты напряжения, а остальные компоненты напряжения являются сдвиговыми (рис. 1).

Рис. 1. Схема действия компонентов механических напряжений

 

    Таким образом, действие внешних сил на твердое тело описывается тензорами напряжений. Из условия равновесия внутри твердого тела рассматриваемого нами куба вытекает, что тензор напряжения – есть симметричный тензор 2-го ранга, т.е. s _ij = s _ji, и тензор напряжений может быть записан

                                                                                            

    Реальные физические тела не являются абсолютно твердыми, поэтому действие внешних сил вызывает их деформацию (смещение некоторых выбранных точек внутри тела под воздействием приложенных сил, например, удлинение тела). Деформация связана с механическим напряжением (и деформация, и механическое напряжение определяются как воздействие на тело внешней силы). Продольные компоненты механического напряжения могут вызывать продольные деформации по соответствующим осям, сдвиговые компоненты напряжений могут вызывать деформации сдвига. Поэтому деформация кристалла в общем случае описывается симметричным тензором второго ранга  (S_ij)  (как и механические напряжения),

                                                                                              

Упругие свойства кристаллических тел

    Соотношение между деформациями и напряжениями определяются законом Гука. В частном случае для слабых деформаций (линейное приближение – после снятия внешней силы деформация пропадает) относительная деформация пропорциональна напряжению. Для анизотропных сред, где любая компонента напряжения может вызвать любую другую компоненту деформации (а не только такую же, как исходная компонента напряжения, так как смещения в материальной среде могут быть разными по разным направлениям), то в общем случае каждая компонента напряжения является линейной комбинацией всех компонент тензора деформации

                                                                                          (5)

где i , j , k , l = 1, 2, 3.

    Повторяющиеся в правой части индексы i , j предполагают суммирование по этим индексам. Система из девяти уравнений (5) содержит 81 коэффициент с _ijkl, который называют упругими модулями. Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации c_ijkl = c_klij = c_jikl = c_ijlk, что уменьшает число независимых коэффициентов до 36. Для изотропных тел число независимых упругих модулей уменьшается до двух, один из которых обычно называют модулем Юнга, а другой – коэффициентом Пуассона. Из всего выше сказанного следует, что упругие свойства тел описываются тензором 4-го ранга (3⁴ = 81) – тензором упругости c_ijkl (тензором модулей упругости).

    Можно ввести тензор, обратный тензору упругости, который также будет тензором четвертого ранга. Тогда можно выразить деформации через напряжения:

                                                                                                  

где S_ik – тензор деформации, s_ijkl – тензор упругой податливости (тензор четвертого ранга обратный тензору упругости c_ijkl).

    Поскольку число независимых упругих констант для тензоров c_ijkl и s_ijkl не превышает 36, то на практике часто используется сокращенное (матричное) обозначение модулей упругости и податливости, при котором вместо пар индексов (i , j) и (k, l), где i , j , k , l = 1,2,3,вводят индексы m , n = 1,2,3,4,5,6  в соответствии с таблицей

                                                                            

    Например, s _{121 3} º s ₆₅, и в общем случае модули упругости и модули податливости могут быть записаны в сокращенном виде как c_ijkl Û c_mn и s_ijkl Û s_mn.

Пьезоэлектрические свойства кристаллических тел

    Некоторые типы твердых тел при действии на них внешних сил поляризуются, т.е. в них возникает собственное микроскопическое электрическое поле. При этом на поверхности тела появляются электрические заряды. Эффект поляризации твердого тела при действии на него внешней силы получил название пьезоэлектрического эффекта, а тела, в которых наблюдается этот эффект, называются пьезоэлектриками.

    Если внешняя сила меняет свой знак, то знак поляризации также меняется. Пьезоэлектрический эффект обратим: у пьезоэлектриков, помещенных в электрическое поле, наблюдается изменение геометрических размеров, т.е. пьезоэлектрик деформируется во внешнем поле. Этот эффект получил название обратного пьезоэлектрического эффекта.

    Экспериментально установлено, что величина пьезоэлектрической деформации в умеренных полях пропорциональна напряженности электрического поля

                                                                                                  (6)

где S – деформация, то есть относительное изменение соответствующих размеров пьезоэлектрика; E – напряженность электрического поля.

    Коэффициент пропорциональности d носит название пьезоэлектрического модуля. Аналогичное уравнение можно написать и для прямого пьезоэлектрического эффекта.

    Из уравнения (6) следует, что пьезоэлектрические свойства должны описываться тензором третьего ранга, так как коэффициент d  связывает между собой тензор первого ранга (вектор) напряженности электрического поля Е и тензор механических деформаций S_ij, являющийся тензором второго ранга. С учетом тензорного характера входящих в уравнение (6) величин, последнее можно представить в следующем виде:

                                                                                            (7)

где i , j , k = 1, 2, 3.

    В матричных обозначения уравнение (7) имеет вид:

                                                                                           (8)

 

где n =1,2,3,4,5,6; m = 1,2,3.

    Благодаря введению матричных обозначений упругие тензоры c_mn и модули податливости s_mn кристалла можно представить квадратной матрицей размера (6х6), а пьезоэлектрические модули d_nk представляются матрицей размера (6х3). Например, запись упругих и пьезоэлектрических модулей для кристалла кварца a – SiO ₂ имеет следующий вид

                                                      

                                                    

где

    Из приведенных выражений следует, что упругие свойства кристаллического кварца однозначно определяются шестью независимыми константами (c ₁₁ , c ₁₂ , c ₁₃ , c ₁₄ , c _33, c ₄₄), а пьезоэлектрические свойства полностью задаются только двумя независимыми модулями d ₁₁ и d ₁₄.

    Из выражения (6) нетрудно выяснить и физический смысл каждого пьезоэлектрического модуля: модуль d_ijk определяет величину S_ij деформации (пьезоэлектрической), при помещении кристалла в электрическое поле Е вектор напряженности которого параллелен оси X_k .

 

Резонансный метод измерения упругих и пьезоэлектрических

свойств кристаллов

    В данной работе используется один из наиболее точных и универсальных методов измерения упругих и пьезоэлектрических модулей кристаллов – метод резонанса и антирезонанса. Рассмотрим коротко идею этого метода.

    Если пластину, вырезанную из кристалла, поместить в переменное электрическое поле, то вследствие обратного пьезоэлектрического эффекта в этой пластине возбуждаются механические деформации, меняющиеся с частотой, равной частоте возбуждающего электрического поля. Вследствие механических деформаций в кристалле (пластине) возникают упругие волны, причем каждой компоненте деформации будет соответствовать определенная волна: продольная волна (сжатия-разрежения) или поперечная волна (сдвига).

Таким образом, при помещении пластины пьезокристалла в переменное электрическое поле в ней возникает множество упругих волн с частотой, равной частоте изменения электрического поля. Причем эти волны распространяются в разных направлениях в кристалле. Скорость распространения упругих волн, а, следовательно, и длина волны, определяется величиной соответствующего упругого модуля данного кристалла. Если при данной частоте электрического поля длина одной из упругих волн укладывается нечетное число раз в том размере пьезоэлектрической пластинки, вдоль которого она распространяется, то амплитуда этой волны резко возрастает, или иными словами, в пластинке наступает резонанс. Резонансные явления в пьезокристаллической пластинке обусловлены тесным взаимодействием прямого и обратного пьезоэлектрических эффектов.

    При помещении пьезоэлектрика во внешнее электрическое поле вследствие обратного пьезоэффекта пьезоэлектрик будет деформироваться. Но эта деформация, вследствие прямого пьезоэлектрического эффекта, будет сопровождаться появлением собственного наведенного электрического поля, которое накладывается на внешнее электрическое поле. В зависимости от типа деформации и прочих условий, собственное электрическое поле может как усиливать, так и ослаблять внешнее поле, что и создает предпосылки для резонансных явлений.

    Если поле пьезоэлектрической деформации находится в фазе с внешним электрическим полем, то амплитуда колебаний резко возрастает, ток смещения, протекающий через пьезоэлектрическую пластину, достигает максимальной величины, а частота внешнего поля f_R соответствующая этому случаю, называется частотой резонанса.

    Наоборот, если поле пьезоэлектрической деформации и внешнее электрическое поле находятся в противофазе, то ток смещения имеет минимальное значение, а сопротивление пластины переменному току достигает максимального значения. Частота f _А, соответствующая этому случаю, называется частотой антирезонанса.

Рис. 2 Эквивалентная схема пьезоэлектрической пластины

    Электрические свойства пьезоэлектрических пластин, помещенных во внешнее переменное электрическое поле, можно описать эквивалентной электрической схемой, приведенной на рис. 2, где последовательный колебательный контур L , C , R характеризует резонансные свойства пластины, и его резонансная частота равна

                                                                                              

а емкость C ₀ – есть собственная емкость пластины с нанесенными на ее поверхность металлическими электродами.

    Собственная емкость C ₀ совместно с элементами L , C , R образует параллельный колебательный контур. Резонансная частота этого параллельного контура может быть определена как

                                                      

    Обычно (f_A – f_R )/ f_R << 1, поэтому в области резонансных частот сопротивление пластины изменяется очень сильно при незначительных изменениях частоты внешнего поля.

    Из сказанного выше следует, что резонансные частоты пьезоэлектрической пластины должны определяется ее размерами, пьезоэлектрическим и упругими модулями ее кристалла. Поэтому производя измерения резонансных частот пьезоэлектрических пластин, определенным образом вырезанных из кристалла, можно вычислить все упругие и пьезоэлектрические модули данного кристалла. Обычно на каждой такой пластинке удается определить значения не более одного пьезоэлектрического и одного упругого модулей.

    В работе исследуются упругие и пьезоэлектрические свойства кристаллов кварца, который широко применяется в электронной технике в качестве материала для прецизионных резонаторов и фильтров. Кварц относится к кристаллам гексагональной сингонии; его упругий тензор имеет шесть независимых компонент, а пьезоэлектрический модуль – две независимые компоненты. Таким образом, для определения всех упругих модулей кварца нужно исследовать резонансные частоты, по крайней мере, шести пластин (срезов) с различной ориентацией относительно кристаллографических осей.

    В работе такие исследования проводятся на четырех однотипных XYs / a срезах, представляющих собой (при a = 0) тонкие длинные бруски с толщиной вдоль оси X, длиной вдоль оси Y и шириной вдоль оси Z  Правило обозначения срезов приведено в примечании.

    При a ¹ 0 ориентация пластины соответствует срезу XYs / a, повернутому вдоль оси X на угол a. При приложении к пластине внешнего электрического поля вдоль оси X (E = E ₁, E ₂ = E ₃ = 0) из уравнения (6) получим

                                                                                        

где n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

 

    При этом в пластине возбуждаются деформации S ₁ = d ₁₁ E ₁ ,

S ₂ = – d ₁₁ E ₁, S ₄ = d ₁₄ E ₁, что следует из математической записи тензора пьезоэлектрических модулей. Поэтому основным типом механических колебаний в вырезанных брусках рассматриваемых срезов, будут продольные колебания (растяжения-сжатия) по длине брусков, связанные с деформацией S ₂, причем резонансная частота этих колебаний  f_R определяется соотношением

                                                                                (9)

где l – длина бруска, r – плотность кварца, s ^¢ ₂₂(a) = s ^¢ ₂(a)– эффективное значение упругой податливости (в матричных обозначениях) повернутого вдоль оси X  на угол a среза  XYs / o.

    Зная вид тензора податливости кристалла s_mn (m , n = 1,2,3,3,5,6) кварца и используя правила преобразований компонент тензора при поворотах осей координат, можно получить следующее общее выражение для s ^¢ ₂₂(a)

        (10)

где s ₁₁, s ₁₂ , s ₁₃  и т.д. независимые упругие податливости кварца.

    Как следует из (8) и (9), из измерений f_R  различных XYs / a – срезов можно определить лишь следующие независимые упругие константы кварца: s ₁₁ , s ₁₄ , s ₃₃ , s ₀ =(2 s ₁₃ + s ₄₄). Для определения двух других независимых упругих постоянных необходимо брать срезы другого типа, например с толщиной по оси Y или оси Z. Причем для определения указанных постоянных, как видно из (8) и (9), необходимо брать не менее четырех XY / a – срезов с различными углами поворотов относительно кристаллографических осей и определять для каждого из них f_R, s ¢ _ij (a), а затем решать полученную систему алгебраических уравнений.

    Пусть для измерений используются XY / a – срезы с a ₁ = 0, a ₂ = 30⁰, a ₃ = 45⁰, a ₄= –45⁰.  Из измерений f_R  продольных колебаний по длине (самый низкочастотный из резонансов, так как l – наибольший размер пластины) с помощью формулы (8) определяем s ¢ ₂₂ (a _p)₎, где p = 1,2,3,4 и, подставляя найденные значения s ¢ ₂₂ (a _p) в (9) получаем систему из четырех алгебраических уравнений для определения  s ₁₁ , s ₁₂ , s ₄₄ , s ₀:

                                                                        (11)

                  (12)

                       (13)

где

    Из полученной системы уравнений находим

                                                                (14)

     (15)

     (16)

где

    Итак, с помощью уравнений (11) – (13), зная резонансные частоты f_R (a), т.е.

                                                                         (17)

можно вычислить четыре независимых модуля упругой податливости кварца.

    Аналогичным образом находятся независимые пьезомодули кварца – d ₁₁ и d ₁₄. Эффективное значение пьезомодуля XYs / a среза d ¢ ₁₂ ( a ) определяется с помощью измеренных частот резонанса f_R и антирезонанса f_A продольных колебаний по длине

                                                     (18)

где e – относительная диэлектрическая проницаемость кварца; d ¢ ₁₂(a) выражается через d ₁₁ и d ₁₄. следующим образом:

                                                 (19)

    Для XYs / a – срезов кварцевых пластин, используемых в лабораторной работе (a ₁ = 38,5⁰, a ₂ = 40,5⁰, a ₃ = 50⁰, a ₄ = - 38⁰ ) по частотам резонанса f_R и антирезонанса f_A  из соотношений (18) и (19), получаем четыре уравнения для двух независимых пьезомодулей d ₁₁ и d ₁₄, причем лишние два уравнения можно использовать для контроля точности выполненных измерений и вычислений.

Примечание. Правило обозначения срезов. Используемые в работе срезы кристаллов являются повернутыми. Обозначение таких срезов содержат буквы и цифры. Две первые прописные буквы обозначают исходное положение среза до поворота: первая буква – вдоль какой оси направлена толщина s, вторая – вдоль какой оси направлена длина l. Далее следуют индексы: буквы s , b или l означают вокруг каких сторон поворачивается срез, цифры – на какой угол (« + » – против часовой стрелки, « – » – по часовой стрелке). Например, срез XYs /₅₀ ^o – означает, что в исходном положении толщина s направлена вдоль Х, а длина вдоль Y, поворот вокруг s против часовой стрелки на угол 50⁰ (рис. 3)

Рис. 3. Срез XYs /₅₀ ⁰