Законы теплового излучения

Рассмотрим кратко основные законы излучения, которые необходимо знать при расчете ОЭП.

Закон Кирхгофа: в точке поверхности теплового излучателя при любой температуре и любой длине волны спектральный коэффициент направленного излучения для заданного направления равен спектральному коэффициенту поглощения для противоположно направленного неполяризованного излучения. Иначе, чем больше тело поглощает энергии, тем больше оно ее излучает, т. е.

где М_elчт — спектральная плотность энергетической светимости черного тела;

а_l — спектральный коэффициент поглощения.

В соответствии с законом сохранения энергии для любого тела

где r_l и t_l —коэффициенты отражения и пропускания соответственно. Поэтому для непрозрачных тел с t_l =0 коэффициент а_l=1—r_l , т.е. по закону Кирхгофа тела с хорошей отражательной способностью являются плохими излучателями.

Закон Стефана-Больцмана: энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры, т.е.

 (3.7)

где s= 5,66971×10^-8 Вт×м^-2×K ^-4 — постоянная Стефана-Больцмана.

Для любого излучателя М_еl=e _lTM_elчт , где e_lT — спектральный коэффициент излучения данного тела.

Для серого тела

Закон Планка описывает распределение энергии по спектру длин волн:

 (3.8)

где C₁=3,7415×10^-16 Вт×м²; С₂=1,43879×10^-2 м×К.

При l Т < 3000 мкм × К для практических вычислений формулу (3.8) можно представить в виде

 (3.9)

Закон Планка позволяет рассчитать энергетическую светимость черного тела М_Dl, а следовательно, и поток его излучения, приходящийся на заданный или выбранный спектральный диапазон Dl=l₂-l₁. Для этого можно проинтегрировать выражение (3.8) в пределах l₁...l₂.

Иногда удобно вместо такого интегрирования разбить диапазон Dl на п участков и воспользоваться приближенной формулой:

Из формулы закона Планка можно получить выражение для закона Стефана-Больцмана. Действительно, если проинтегрировать (3.8) в пределах 0...Ґ, то получим (3.7), т. е.

Если задаться целью определить длину волны излучения, соответствующую максимуму кривой М_el=f(l), т. е. найти экстремум функции М_el, то получим так называемый закон Голицына-Вина:

                         l _max = 2898/ T               (3.10)

Здесь l_max берется в микрометрах, а Т — в Кельвинах.

На практике часто закон Голицына-Вина используют в следующем виде:

l _max = 3000/ T .

Закон Голицына-Вина указывает, что с увеличением температуры излучателя максимум излучения сдвигается влево по спектру длин волн l, поэтому он называется также законом смещения.

Интегрируя выражение для М_el в пределах 0... l_max, получим

т.е. в коротковолновой части спектра черное тело излучает одну четверть всей энергии, а ее основная доля приходится на более длинные волны.

Для некоторых практических применений важно учитывать, что 50% полного излучения (площади кривой Планка) содержится в диапазоне 0...l_1/2 , где l_1/2=4110/Т.

Очень часто чувствительность приемников излучения зависит в большей степени от скорости прихода квантов излучения, чем от значения энергии излучения. Поэтому можно привести выражение для числа квантов излучения (фотонов), испускаемых тепловым излучателем в единицу времени и приходящихся на единичный спектральный интервал внутри полусферического телесного угла.

Это выражение легко получается из (3.8) делением его на величину, определяющую энергию одного фотона, т. е. на e=hc₀/l=1,9863×10^-19/l Вт×с

        (3.11)

Поскольку мгновенная скорость излучения фотонов определяется многими случайными процессами, целесообразно оценить их влияние, приводящее к флуктуациям числа N_l, спектром шума j_ф, который является зависимостью от частоты среднего квадратического отклонения мощности или числа фотонов от их средних значений. Рассматривая мощность излучения F_e как флуктуирующую величину, можно получить выражение для j_ф в следующем виде:

                    j _ф = 8 Ak s T ⁵.                       (3.12)

где A — площадь излучателя; k=1,3806×^-23 Дж×K^-1; s=5,6697×10^-8 Вт×м^-2×K ^-4.

Для спектра шума, описывающего флуктуации числа фотонов N:

                  j _N = 4,17 × 10¹¹ AT ³                     (3.13)

Для источников — серых тел правые части (3.12) и (3.13) следует умножить на коэффициент излучения.

Имеются специальные таблицы функций Планка, с помощью которых можно найти полную энергию, излучаемую в данном спектральном диапазоне, число квантов в излучении черного тела и ряд других данных [12].

Формулу Планка можно представить графически в виде так называемых кривых Планка (рис. 3.3), что чаще на практике более удобно. Рассматривая кривые для каких-либо температур, можно заметить, что чем больше температура, тем выше расположена кривая, т.е. на любом участке спектра полный излучатель с более высокой температурой дает больше энергии излучения, чем полный излучатель с меньшей температурой.

Для упрощения расчетов, связанных с использованием кривых Планка, удобно рассматривать единую изотермическую кривую, получаемую заменой в формуле Планка переменных l и М_el новыми переменными:

При этом формула Планка принимает следующий вид:

Чтобы от единой изотермической кривой (рис.3.4) вернуться к кривой Планка для данной температуры Т в Кельвинах, необходимо:

1) определить l_max=2898/T в микрометрах;

2) определить M_elmax=1,2864×10^-15Т ⁵ в Вт×см^-2 ×мкм^-1;

3) для выбранных значений l определить x=l/l_max;

4) по единой изотермической кривой найти у;

5) определить соответствующие каждому значению l значения

Если из всей энергии, испускаемой тепловым излучателем и определяемой величиной M_e, используется лишь энергия, излучаемая на некоторой рабочей длине волны, то для практических целей важно знать температуру, при которой наиболее эффективно используется мощность излучателя.

Рис.3.3. Кривые Планка: T₁>T₂>T ₃

Рис.3.4. Единая изотермическая кривая.

Определяя эффективность излучения через отношение функции Планка M_e(l, Т) к суммарной энергетической светимости М_e:

и находя экстремум этого отношения, получаем, что

l _эф Т_эф = 3625,

т.е. для данной длины волны l _эф существует определенная температура T_эф, обеспечивающая наибольшее отношение М_е (l_эф,Т _эф) к М_e.

Важно отметить, что значение l_эф не совпадает со значением l_max, рассчитываемым по (3.10).

На практике часто необходимо определить небольшую разность температур двух черных тел или близких к ним излучателей. Изменению температуры Т соответствует изменение М_еl. Дифференцируя формулу (3.9), можно получить значение dM_el/dT при lТ<<C₂:

а отсюда, перейдя к конечным приращениям, найти искомую величину

где М_el определяется из (3.8) или (3.9).

Полезно отметить, что для длин волн много больших l _max спектральная плотность излучения М_{e l} растет пропорционально Т, а в области l _max она увеличивается пропорционально Т⁵.

Если эффективность работы ОЭП определять по значению наблюдаемого контраста между исследуемым объектом и фоном, на котором он находится (объект и фон принимаются за черные тела с близкими температурами), то важно знать такую длину волны l_с, при которой скорость изменения функции Планка при изменениях температуры максимальна.

Для определения l_с нужно найти максимум зависимости dM_el/dT. На основании закона Планка можно установить, что такой максимум имеет место при l_c T =2411, т. е. l_с=2411/Т.

Функции dM_el/dT, служащие для нахождения контраста излучения черных тел с различными температурами, приведены на рис.3.5.

Рис.3.5. Производные функции Планка.

В большинстве практических задач при этом следует учитывать также пропускание среды и спектральные коэффициенты излучения объекта и фона.