Для эргодического стационарного случайного процесса

где X - область определения случайного процесса.

Статистическая связь между отдельными значениями (ордината ми) случайного процесса количественно оценивается интервалом (радиусом)корреляции

Корреляционная функция обладает в общем случае свойством R_s(Dx)=R^* _s(-Dx), а если s(x) — действительная функция, R_s(Dx)=R_s(-Dx). В последнем случае корреляционная функция имеет максимум при Dх=0.

Корреляционная функция периодического процесса s(x) также является периодической и имеет тот же период, что и s(x).

Корреляционная функция стационарного случайного процесса s(x) является четной и зависит только от промежутка Dх между двумя рассматриваемыми сечениями случайного процесса.

В отличие от детерминированных сигналов преобразование Фурье к амплитудным значениям случайных функций неприменимо, так как спектральная плотность самой случайной функции — понятие бессмысленное. Можно ввести понятие спектральной плотности дисперсии, так как последняя — неслучайная функция. Эта величина часто эквивалентна мощности, приходящейся на единицу полосы частот. Поэтому ее называют энергетическим спектром случайной функции (статистическим спектром). А. Я. Хинчин и Н. Винер показали, что ковариационная функция и энергетический спектр стационарного случайного процесса являются парой преобразования Фурье, т.е.

На практике часто используется следующая связь между значением корреляционной функции R_s(Dx) при Dx=0 и дисперсией D случайного процесса: R_s(0) =D_s=s_s².

Для двумерных случайных функций, например, функций, описывающих случайный закон распределения яркости по полю, указанные выше положения сохраняют свою силу. Например, взаимная ковариационная функция для стационарного процесса в двумерном представлении

где X, Y - пределы действительных значений аргументов х и у; s*() —функция, комплексно-сопряженная с s ().

Часто выражение для К_s(Dх, Dу) записывают в виде

т.е. ковариация рассматривается по площади перекрытия функций s(x, y) и s* (x+ Dx, у+Dу).

Двумерный спектр Хинчина-Винера для эргодического двумерно го случайного процесса имеет вид

Характеристики стационарного случайного сигнала так же, как и детерминированного, можно записать в векторной форме. Например,

где  — область существовании . Если подставить в последнее выражение ковариационную функцию случайного процесса

где — область существования ; - предел действительного значения , то получим

С учетом теоремы запаздывания внутренний интеграл

Тогда