Единая формула для трех сторон составного – результатирующего угла прямоугольного треугольника.

Все многообразие схем по суммированию одинаковых углов объединяется единой формулой для трех сторон составного – результатирующего прямоугольного треугольника.

То есть для суммы n равных углов в рамках прямоугольного треугольника будем иметь следующую зависимость в декартовой системе координат (см.рис.8 )

Рис.8.

При возведении сторон прямоугольного треугольника в квадрат получим формулу:

                          (1)

Где  -прилежащий катет коренного угла , - противолежащий катет коренного угла , - целое количеств углов в искомой сумме; - квадрат гипотенузы составного – результатирующего треугольника.

Многочлены в скобках обрываются сами собой, заканчиваясь слагаемым с нулевой или первой степенью числа a. При n= 1 получим уравнение Пифагора.

Известна формула бинома Ньютона:

        (2)

Где n- целое положительное число.

На рисунке 8 имеется гипотенуза, квадрат которой можно разложить аналогичным образом:

(3)

Тогда формула (1) примет следующий вид:

В тангенсной мере формула суммы n-углов примет вид :

При рассмотрении общей закономерности на рис.8 Имеют место частные случаи, когда а=0 или b=0 в параметрах исходного коренного угла, а так же na= 0^о, na=90^о, na=180^о, и т.д. в параметрах результатирующего угла.

То есть имеют место равенства:

или , значит a=c или b=c, а также

                                              (4)

или

                                              (5)

Пример

Возьмем угол 90^о у которого прилежащий катет равен 0^о, а противолежащий равен числу b. Определить его тройное и учетверенное значение.

Решение

1)Гипотенуза у результатирующего треугольника примет значение для тройного угла:

Противолежащий катет должен быть равен:

Это возможно при условии

         Прилежащий катет равен:

Результат соответствует углу 270^о и формуле (4)

2)гипотенуза результатирующего треугольника с учетверенным углом будет равна:

Противолежащий катет будет равен:

Прилежащий катет должен быть равен:

Это возможно при условии . Тогда результату соответствует углу 360^о и формуле (5)

Используя принцип сложения углов, показанный на рисунке можно получат суммы трех, четырех, пяти и т.д. различных углов.

В тангенсной мере для трех суммирующих углов это будет выглядеть так:

Где b/a; d/c; f/e – противолежащий и прилежащий катеты соответствующих углов.

Для пяти различных углов формула примет следующий вид:

Где b/a, d/c, f/e, h/g, j/I – противолежащий и прилежащий катеты соответствующих углов.

При надобности можно вывести и тригонометрические формулы суммы любого количества углов. Параметрические структурные схемы примечательны еще тем, что они прекрасно иллюстрируют действия с комплексными числами

Рис.9 Упрощенная структурная схема, демонстрирующая адекватность действий сложения двух различных комплексных чисел. На схеме буква i маркирует отрезок демонстрирующий чисто минимумную часть комплексного числа.  

а, с – действительные числа.b,d – числа без мнимой единицы, bi, di – чисто мнимые числа; z₁ = a+ bi,  z₂ = c+di – комплексные числа; z₁ = a- bi z₂ = c-di - сопряженные числа.

Из элементарной математики известно, что произведение двух комплексных чисел имеет вид : (a+bi)( c+di) = ( ac-bd)+(ad+bc)i. т.е имеем полное соответствие катетам коренных и результатирующего треугольников.

Формула возведения в степень комплексного числа:

Формулой открывается ряд свойств комплексных чисел и ряд свойств групп членов биноминального разложения.

Конечно, начальное знакомство с открывающимися закономерностями не позволяет делать какие – либо окончательные выводы, но такая спрессованность материала в столь известных и древних объектах поражает.