Египетский треугольник

Египетский треугольник — прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

Особенностью такого треугольника, известной ещё со времён античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора даёт целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников — треугольников с целочисленными сторонами и площадями.

Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет — и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к формулировке и доказательству его знаменитой теоремы.

Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Для построения прямого угла использовался шнур или верёвка, разделённая отметками (узлами) на 12 (3+4+5) частей: треугольник, построенный натяжением такого шнура, с весьма высокой точностью оказывался прямоугольным и сами шнуры-катеты являлись направляющими для кладки прямого угла сооружения.

В архитектуре средних веков египетский треугольник применялся для построения схем пропорциональности.

Любой треугольник можно построить геометрическим способом, если известна длина всех трех сторон и длина двух сторон и угол между ними, если задано соотношение сторон треугольника. Последнее действительно задано как 3 : 4 : 5

Для доказательства теоремы о египетском треугольнике необходимо использовать отрезок прямой известной длины А-А1.Он будет служить масштабом, единицей измерения, и позволит определить длину всех сторон треугольника. Три отрезка А-А1 равны по длине наименьшей из сторон треугольника ВС, у которой соотношение равно 3. А четыре отрезка А-А1 равны по длине второй стороне, у которой соотношение выражается числом 4. И, наконец, длина третьей стороны равна пяти отрезкам А-А1. Проведем отрезок ВС, являющийся наименьшей стороной треугольника. Затем из точки В радиусом, равным отрезку с соотношением 5, проводим циркулем дугу окружности, а из точки С —дугу окружности радиусом, равным длине отрезка с соотношением 4. Если теперь точку пересечения дуг соединить линиями с точками В и С, то получим прямоугольный треугольнике соотношением сторон 3 : 4 : 5. Что и требовалось доказать.

3 + 5 = 8. а число 4 составляет половину числа 8. Числа 3, 5, 8 имеют прямое отношение к золотому сечению и входят в так называемый «золотой ряд»: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... В этом ряду каждый последующий член равен сумме двух предыдущих: 1 + 1= 2. 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8 и так далее.

Выражение «золотое сечение» впервые ввел в XV веке Леонардо да Винчи. Но сам «золотой ряд» стал известен в 1202 году, когда его впервые опубликовал в своей «Книге о счете» итальянский математик Леонардо Пизанский. прозванный Фибоначчи. Однако почти за две тысячи лет до них золотое сечение было известно Пифагору и его ученикам. Правда, называлось оно по-другому, как «деление в среднем и крайнем отношении». А вот египетский треугольник с его «золотым сечением» был известен еще в те далекие времена, когда строились пирамиды в Египте.

Так кому же принадлежит первенство в этих выдающихся знаниях? Ясно, что их корни скрываются в глубине тысячелетий или в просторах космоса. О золотом сечении «забыли» в средние века, когда инквизиторы в церковных мантиях в борьбе с новыми веяниями в науке мечом и огнем уничтожили многие знания и их носителей, среди которых было много выдающихся мыслителей и посвященных. Но о нем вспомнили в XIX веке. Позднее оно нашло широкое применение в архитектуре, искусстве, полиграфии, компьютерах и в других областях человеческой деятельности.

Когда говорят о золотом сечении, то чаще всего имеют в виду гармоничное соотношение высоты к ширине или соотношение последовательных отрезков, расположенных на одной прямой и находящихся в отношении друг к другу согласно «золотому» ряду чисел. Здание, в котором отношение высоты к ширине или отношение между высотами отдельных надстроек-этажей укладывается в «золотой» ряд, выглядит гармонично. Очевидно, все в мире подчиняется золотому правилу. И всякое искусственное его нарушение приводит к искажению законов природы и космоса, вносят дисгармонию в окружающее пространство.

А как же египетский треугольник? Ведь у него отношение катетов, то есть «ширины» к высоте, составляет 3:4 и как бы выпадает из «золотого» ряда чисел? Но так ли это? Пристроим к египетскому треугольнику АВС (рис.3) равный ему треугольник ВСД так, чтобы катет ВС, в цифровом

выражении равный 4, был общим. Получим равнобедренный треугольник АВД. В нем

рис.3

отношение высоты к основанию ВС : АД = 4:6 = 2:3. соотношение 2:3 — из «золотого» ряда.

Посмотрим теперь другой параметр: отношение высоты к боковой стороне: ВС : АВ = ВС : ВД = 4:5. Подобное соотношение применялось в прошлом и применяется в наше время в прикладных искусствах. В древние времена оно находило применение в архитектуре.

А теперь пристроим к египетскому треугольнику АВС равный ему треугольник АСЕ так, чтобы уже другой катет АС стал общим для них. Получим равнобедренный треугольник АВЕ, в котором отношение высоты к основанию АС : ВЕ = 3:8. Числа 3 и 8 тоже из «золотого» ряда, но они не являются соседними в ряду. Оказывается, это не служит препятствием для создания гармоничной пропорции. Более того, пропорция, образованная этим равнобедренным треугольником, где АС : ВЕ = 3 : 8. по мнению некоторых специалистов, в частности Р. Энгель-Гардта (1919 г.), дает «чудесную гармонию». Таким образом, получается, что египетский треугольник прямо и косвенно связан с золотым сечением.

Слева - "пирамида" в которой соотношение высоты к основанию ВС:АД = 4 : 6 = 2 : 3 - удовлетворяет пропорции золотого ряда чисел. Справа - равнобедренный треугольник у которого соотношение высоты к основанию АС:ВЕ = 3 : 8 также образует гармоническую пропорцию

.

рис.4