Контрольная работа по разделу «Аналитическая геометрия».

Примерный вариант контрольной работы

1. Пусть в треугольнике ABC  Изобразить векторы a, b, c и разложить вектор с по векторам a и b.
2. Пусть a=(2,2,2), b=(1,-1,2), c=(-1,3,4). Вычислить |2a -3b|, cosÐ(a, 2a-3b), ab, a ´ b, abc.
3. Даны вершины A(2,-2), B(8, -8), C(5, 7) ан треугольника АВС. Найти площадь треугольника ABC. Точку пересечения медиан. Уравнение медиан AM. Уравнение высоты AH. Расстояние от вершины A до стороны BC. Тангенс угла A.
4. Даны вершины A(2,-2,1), B(8, -8,2), C(5, 7, 3), D(-5,-7,-8) пирамиды АВСD. Найти объем пирамиды ABCD. Найти косинус двухгранного угола при ребре AB. Уравнение плоскости ABC. Уравнение высоты DH. Расстояние от вершины D до плоскости ABC. Найти расстояние от прямой AB до прямой C3.
5. Найти уравнения эллипса, если b=5, e = 0,4 и гиперболы, если b=5, e = 3. Найти их фокусы и директрисы. Построить эллипс и гиперболу, их фокусы и директрисы.

Примерный вариант контрольной работы по элементарной математике

1. Около круга радиуса 2 см описана равнобочная трапеция с площадью 20 см². Найдите длины сторон трапеции.

2. Построить треугольник по данному основанию, боковой стороне и высоте, опущенной на основание.

3. Построить треугольник по двум углам и медиане.

4. Построить параллелограмм, зная одну из сторон, опущенную на эту сторону высоту и одну из диагоналей.

5. Построить треугольник по основанию, боковой стороне и медиане, проведенной к основанию.

6. Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

7. Найти объем конуса, вписанного в правильную треугольную пирамиду с боковым ребро l и плоским углом a при вершине.

Примерный вариант контрольной работы по проективной геометрии

1.
На проективной плоскости постройте точку

2.
Через данную точку и недоступную точку пересечения двух прямых провести прямую, пользуясь только линейкой.

3.
Сформулируйте утверждение, двойственное к утверждению «Через любые две различные точки проходит единственная прямая».

4.
Напишите уравнение проективной прямой, проходящей через точки и .

5.
Найдите точку пересечения проективных прямых

6.
Проверьте, лежат ли точки , , , на одной прямой. В случае положительного ответа найдите сложное отношение этих точек.

7.
Найдите преобразование проективной прямой, при котором точки переходят соответственно в точки

8.
Дано проективное преобразование проективной плоскости .

Найдите:

1.
образ и прообраз точки

2.
инвариантные точки преобразования.

Тест по основаниям геометрии.

1.Аксиомы…содержат основное неопределяемое отношение «принадлежности».

1. соединения (принадлежности);
2. порядка;
3. конгруэнтности;
4. непрерывности.

2.Аксиома…эквивалентна пятому постулату Евклида.

1. Лобачевского;
2. параллельности;
3. конгруэнтности;
4. порядка.

3.На плоскости Лобачевского сумма углов треугольника … 2d.

1. меньше;
2. больше;
3. меньше или равно;
4. больше или равно.

4. Если на плоскости Лобачевского три угла одного треугольника соответственно равны трем углам второго треугольника, то эти треугольники ….

1. равны;
2. подобные;
3. прямоугольные;
4. равнобедренные.

5.На плоскости Лобачевского средняя линия квадрата и основание ….

1. параллельны;
2. перпендикулярны;
3. сверхпараллельны;
4. пересекаются.

6.Для доказательства непротиворечивости систем аксиом необходимо и достаточно:

1. построить модель заданной системы аксиом;
2. доказать, что в ней нет противоречащих друг другу аксиом;
3. доказать, что в ней нет эквивалентных предложений;
4. доказать, что в ней нет предложений, эквивалентных пятому постулату Евклида.

7.Пятый постулат нельзя доказать, т.е. вывести из абсолютной геометрии, так как:

1. абсолютная геометрия не является частью геометрии Лобачевского;
2. в геометрии Лобачевского оказались бы два противоречащих друг другу предложения;
3. пятый постулат и аксиома параллельности Лобачевского эквивалентны;
4. геометрия Евклида и геометрия Лобачевского имеют общую часть.

8. - утверждение, эквивалентное аксиоме параллельности.

1. Справедлива теорема Пифагора.
2. .° 180³Сумма углов треугольника
3. .° 180<Сумма углов треугольника
4. Из данной точки всегда можно провести касательную к окружности.

9.На плоскости Лобачевского две прямые, которые при пересечении с третьей образуют равные накрест лежащие углы, являются ….

1. параллельными;
2. расходящимися;
3. перпендикулярными;
4. совпадающими.

10.На плоскости Лобачевского угол параллельности … при увеличении расстояния от точки до прямой.

1. уменьшается;
2. увеличивается;
3. не изменяется.
4. не уменьшается.

11.Утверждением, эквивалентным аксиоме параллельности является:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые не пересекаются.
2. .° 180<Сумма углов треугольника
3. .° 180³Сумма углов треугольника
4. Первый признак равенства треугольников.

12.Утверждением, эквивалентным аксиоме параллельности является:

1. Преобразование симметрии относительно точки является движением.
2. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
3. Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую.
4. Первый признак равенства треугольников

13.Утверждением, эквивалентным аксиоме параллельности является:

1. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
2. В равнобедренном треугольнике медиана является высотой.
3. Из данной точки всегда можно провести касательную к окружности.
4. Первый признак равенства треугольников

14.Утверждением, эквивалентным аксиоме параллельности является:

1. Существуют подобные, но не равныетреугольники.
2. Через точку вне прямой проходит не более двух прямых, не пересекающих данную прямую.
3. Любые две прямые на плоскости имеют общую точку.
4. Первый признак равенства треугольников

15.Утверждением, эквивалентным аксиоме параллельности является:

1. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на ее диаметр, - прямой.
3. Из данной точки всегда можно провести касательную к окружности.
4. Второй признак равенства треугольников

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
3. Три точки, одинаково удаленные от некоторой прямой и лежащие по одну сторону от нее, лежат на одной прямой.
4. Первый признак равенства треугольников