III.1 Резонансное туннелирование через квантовую яму с двойным барьером

 

На рис. III.1 а схематически представлена структура с квантовой ямой и двойным барьером в направлении роста (ось z). В данном случае КЯ состоит из слабо легированного GaAs (с концентрацией носителей N_D2), окруженного двумя нелегированными барьерами GaAlAs. Предполагается, что высота барьеров и ширина ямы (W₂) таковы, что в яме образуется только один уровень (Е₁). Эта трехслойная структура помещена между двумя слоями GaAs с сильным легированием n-типа для создания электрических контактов (Е_F - уровень Ферми). Прибор, изображенный на рис. III.1 а, является прибором n-типа, хотя могут быть созданы подобные туннельные приборы и р-типа. На рисунках III.1 б и III.1 в показаны схемы зон при приложении к прибору напряжения смещения. При приложении поля электроны могут туннелировать из слоя GaAs слева (эмиттер) в слой справа (коллектор). Рассуждая на качественном уровне, мы ожидаем, что туннельный ток вначале окажется мал, но будет возрастать при увеличении приложенного напряжения. Это схематически показано на рис. III.1 г вблизи начала координат. Когда напряжение смещения достигает величины 2Е₁/е, Е_F в эмиттере попадает в резонанс с подзоной Е₁ в яме (рис. III.1 6). (Последнее утверждение справедливо только при одинаковой ширине обоих барьеров.) Тогда электроны, протуннелировавшие в яму, могут, в принципе, быть захвачены в ней, а затем освободиться, протуннелировав через второй барьер. При этом напряжении туннельный ток сильно возрастает. Описанное явление называется резонансным туннелированием. Когда напряжение превышает 2E₁/ e (рис. III.1 е), туннельный ток резко падает, создавая область с отрицательным дифференциальным сопротивлением (рис. III.1 г).

 

Рис. III.1. Пространственное изменение энергии электрона в состоящем из КЯ с двойным барьером резонансном туннельном приборе GaAs/GaAI As/GaAs/GaAl As/GaAs при трех напряжениях смещения: а) нулевое смещение, б) напряжение смещения V_b = 2Е₁/е и в) V_b > 2E₁/e, где Е₁ - энергия электронной подзоны внутри КЯ GaAs; г) схематические I-V характеристики прибора a, на которых видна область ОДС для напряжения смещения чуть выше 2E₁/e

 

Зависимость туннельного тока от напряжения смещения в квантовой яме с двойным барьером можно вычислить с помощью следующей приближенной процедуры. Для простоты предположим, что эмиттер, яма и коллектор сделаны из одного материала (такого как GaAs на рис. III.1), а электроны ведут себя как свободные носители с изотропной эффективной массой m^*_A. Электрон с волновым вектором k в эмиттере будет туннелировать через барьеры в коллектор без рассеяния, т.е. без потери энергии и изменения волнового вектора в плоскости структуры (отметим, что волновой вектор вдоль направления роста z не сохраняется, поскольку структура не обладает трансляционной инвариантностью в этом направлении). Пренебрежем кулоновским взаимодействием между электронами, которое создает «потенциал изображения», действующий на туннелирующий электрон. Пренебрежем также изгибом зон, возникающим на интерфейсах между эмиттером (коллектором) и барьером вследствие потенциала смещения (это предполагается на рисунках III.1 б и III.1 в). Сделанные упрощения позволяют свести трехмерную задачу к одномерной. Пусть, как и на рис. III.1, г - направление роста. Поскольку потенциал V (z) (являющийся функцией напряжения смещения V_b), который «видит» туннелирующий электрон на рис. III.1, зависит только от z, уравнение Шрёдингера можно разделить на два уравнения, представив волновую функцию в виде произведения двух функций, как в (9.7 а). Решения в направлениях х и у являются плоскими волнами, как в (9.76), и далее рассматриваться не будут. Собственные значения для этих решений даются выражениями Е_x,y = [ħ² / (2 m*_A )](k_x² + k_y²). Уравнение Шрёдингера для движения вдоль z имеет вид

 

[ - ħ²d²/2m^*_Adz² + V(z) ] 𝜓_A(z) = E_z𝜓_A(z) для z вне барьеров (III.1а)

и [ - ħ²d²/2m^*_Bdz² + V(z) ] 𝜓_B(z) = E_z𝜓_B(z) для z внутри барьеров, (III.1б)

 

где m^*_B - эффективная масса электрона внутри барьеров, предполагаемая изотропной. Полная энергия туннелирующего электрона Е = Е_x,y + E_z. За исключением того факта, что масса электрона внутри и вне барьеров различна, выражения (III.1а) соответствуют хорошо известной задаче об одномерном туннелировании. Вместо того, чтобы повторять вычисления, мы просто опишем ниже эту процедуру.

Нас интересует только случай, когда энергия электрона E_z меньше, чем высота каждого из барьеров даже при положительном смещении. При таких обстоятельствах волновал функция электрона может быть представлена в виде суммы падающей и отраженной плоских волн в области эмиттера и ямы. Внутри барьеров волновые функции имеют чисто мнимый волновой вектор, т.е. являются экспоненциальными. В области коллектора волновая функция является плоской волной, распространяющейся только направо, поскольку предполагается, что эта область простирается направо до бесконечности, и поэтому отраженной волны нет. На интерфейсе накладывается обычное граничное условие непрерывности волновой функции и ее первой производной по z, т.е. (II.13). При этих условиях коэффициенты падающей и отраженной волновых функций в одной области связаны с коэффициентами в соседних областях посредством матрицы 2x2, которая называется матрицей переноса.

В качестве примера предположим, что потенциал можно разделить на n + 1 областей, которые мы определим как z = [- ∞, z₁ ],[z₁,z₂],…,[z_n,∞], а также что внутри каждой области i потенциал V_i можно считать постоянным. Эмиттер и коллектор соответствуют областям 1 и n + 1. В реальных ситуациях, если потенциал не является постоянным внутри какой-то области, следует делить эту область на меньшие до тех пор, пока потенциал не станет приближенно постоянным внутри каждой из них. Пусть A_i и B_i - амплитуды волн, распространяющихся направо и налево, соответственно, внутри области i. Обозначим обобщенный волновой вектор в области i как k_i:

 

ħ²k²/2m^*_i = E_z - V_i (III.2)

 

где т*_i - масса электрона в области i. Из (III.2) ясно, что k_i , будет или не будет мнимым числом в зависимости от того, является ли область i барьером (V_i > E_z) или нет. Если k_i - мнимый, то волна затухает. Коэффициенты (A₁, B₁) и (А_n+1, В_n+1 ) в областях эмиттера и коллектора, соответственно, связаны соотношением:

(III.3)

где элементы матриц переноса М_р(α,β) (α,β = 1 или 2) выражаются следующим образом:

 

 (III.4a)

 (III.4б)

 (III.4в)

 

 

На основании этих результатов можно вычислить коэффициент пропускания для электрона с энергией

 

Е_z:

 

Рис.III.2. Расчетная энергетическая зависимость коэффициента пропускания электрона через структуру с двойным барьером при нулевом смещении (сплошная кривая) и при смещении 0,1 эВ (штриховая кривая). Ширина барьера и ямы равны 26 и 50 А соответственно. Высота барьеров относительно дна ямы - 1,2 эВ

 

На рис. III.2 приведена зависимость T(E_Z) для электрона, туннелирующего через структуру с двойным барьером высотой 1,2 В, при нулевом смещении и при смещении 0,1В. Обратите внимание на то, что при приложенном смещении потенциал не является постоянным внутри барьеров (см. рисунки III.1 б и III.1 в). Как уже отмечалось выше, метод матриц переноса все еще можно применять приближенно, представляя медленно меняющийся потенциал в виде нескольких постоянных ступенек потенциала. При нулевом смещении коэффициент пропускания достигает единицы при значениях E_z, равных 0,25 и 0,83 эВ. При этих энергиях электрона происходит резонансное туннелирование. В случае отличного от нуля смещения коэффициент пропускания не равен единице даже в условиях резонансного туннелирования.

III.2 Вольт-амперные характеристики приборов с резонансным туннелированием.

В эксперименте не измеряют непосредственно вероятность туннелирования T(E_Z). Вместо этого обычно измеряют зависимость туннельного тока от напряжения смещения (так называемые вольт-амперные (I - V) характеристики прибора с резонансным туннелированием). Однако если зависимость T(E_Z) известна, то можно вычислить полный туннельный ток I, суммируя вероятность туннелирования по распределению электронов в эмиттере с помощью следующего выражения:

 

𝜕E/𝜕k_z

 

где е - абсолютное значение заряда электрона, f(E) - вероятность заполнения для электронов в области эмиттера (которая при равновесных условиях является функцией распределения Ферми-Дирака), a f(E') - аналогичная вероятность заполнения в области коллектора.

Член [f(E) - f(E')] описывает туннелирование электрона из заполненного состояния в пустое. В предположении, что рассеяния не происходит, энергия электрона в области коллектора Е' связана с энергией в области эмиттера как

' = E + eV_b. (III.7)

 

Мы предполагали, что напряжение смещения V_b, положительно. В случае отрицательного смещения роли эмиттера и коллектора меняются местами.

 

Рис. III.3. Зависимость тока (а) и зависимость проводимости (б) от напряжения для трех различных температур: 1 - 25 К, 2 - 230 К, 3 - 290 К. Результаты получены для КЯ с двойным барьером; W₁ = W₂= W₃ = 50 A, ND₁ = ND₃ = 10¹⁸ см^-3, концентрация внутри ямы в объемном эквиваленте ND₂ = 10¹⁸ см^-3

 

На рис. III.3 приведены I-V характеристики и проводимость dI/dV резонансного туннельного диода, изготовленного Соллнером и др. и изображенного на рис. III.1 a. Предполагается, что барьеры Ga_0,75Al_0,25As не легированы и являются полуизолирующими вследствие компенсации остаточных мелких доноров другими дефектами, расположенными вблизи середины запрещенной зоны. Только на кривой, относящейся к 25 К, ясно видна область ОДС. При комнатной температуре есть намек на область ОДС на кривой проводимости при обратном смещении. Вольт-амперная характеристика не является полностью симметричной по отношению к нулевому смещению, хотя она должна была бы быть таковой, если бы не было изгиба зон. Несмотря на то, что приведенная выше теория качественно объясняет экспериментальные результаты, показанные на рис. III.3, получить хорошее количественное согласие значительно сложнее.

Одним из экспериментальных параметров, играющих важную роль в применениях прибора, является так называемое отношение пикового тока к току в долине. Оно определяется как отношение тока при резонансной энергии, соответствующей пику туннелирования, к току в минимуме (или долине), прежде, чем он снова начинает возрастать при увеличении напряжения. Для прибора на рис. III.3 это отношение при 25 К равно примерно 6 при отрицательном смещении и 4 - при положительном. Его величина определяется рассеянием туннеллирующих электронов внутри ямы на фононах, шероховатостях интерфейсов и других дефектах. Важность рассеяния на фононах иллюстрируется на рис. III.3 быстрым уменьшением отношения пик-долина при возрастании температуры. Рассеяние на шероховатостях интерфейса делает несправедливым ранее введенное предположение об одномерности. Его влияние на резонансные туннельные приборы, изготовленные из GaAs/GaAlAs, недавно моделировалось с помощью численных расчетов. Гораздо большее отношение пик-долина было достигнуто у резонансных туннельных приборов, основанных на других материалах. Например, на рис. III.4 показан прибор, состоящий из In_0,53Ga_0,47As (эмиттер и коллектор), AlAs (барьеры) и InAs (яма). В этом приборе отношение токов «пик-долина» равно 30 при комнатной температуре и достигает 63 при 77 К (рис. III.5).

 

Рис. III.4. а) Схематическое поперечное сечение структуры с псевдоморфным In-GaAs/AlAs/InAs резонансным туннельным диодом, выращенным на подложке из InP; Т = 77 К б) зависимость энергии электрона от его положения вдоль направления, перпендикулярного слоям структуры, приведенной в а; Т = 300 К

 

Рис. III.5. Вольт-амперные характеристикипсевдоморфногоIn-GaAs/AlAs/InAs резонансного туннельного диода 30 х 30 (мкм)², показанного на рис. III.4, измеренные при а) 77 К и б) 300 КЗАДАЧА. Прямоугольная потенциальная яма

Найти связанные решения и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной ямы

 

U, ∣x∣< a,(x) =

, ∣x∣>a.

 

Решение. Рассмотрим случай отрицательных энергий, соответствующих связанным состояниям. Потенциал инвариантен по отношению к инверсии V (x) = V(-x), так что решения обязаны быть либо четными, либо нечетными. Положив

 

 

 

можно записать эти решения в следующем виде:

четные

₊ cos kx, 0 ≤ x ≤ a,

u ₊ (x) =₊ cos kae^{𝜘(a- 𝜘)}, x > a

u ₊ (- x) = u ₊ (x),

 

нечетные

_- sin kx, 0 ≤ x ≤ a,_- (x) =_- sin kae^{𝜘(a- 𝜘)}, x > a

u _- (- x) = - u _- (x),

 

Выше амплитуды внутри и вне потенциальной ямы были выбраны таким образом, чтобы функция U(x) оставалась непрерывной в точке x=a. Нормировочная постоянная была определена из условия

 

 

Требование непрерывности u’ в точке x = a дает еще условие:

четные

 

- k sin ka = - cos ka,ka = /k;

 

нечетные

 

k cos ka = - sin ka,

сtg ka = - /k.

 

С помощью соотношений и упростить выражения для нормировочных постоянных, получая в обоих случаях одно и то же равенство:

 

 

Чтобы из уравнения можно было найти собственные значения, заменим в правых частях этих уравнений величину χ в соответствии с выражением и введем обозначение

= k₀ a

 

В результате получим

четные

 

 

нечетные

 

 

При данном потенциале величина С является постоянной, зависящей лишь от размеров ямы (С²~ Ua²)и уравнения и дают возможность определить все значения ka, а тем самым и все значения энергии

 

 

реализующиеся в яме данных размеров.

На фиг.1 tg ka, а также правые части уравнений и показаны как функции переменной ka. Собственные значения находятся как абсциссы точек пересечения двух последних кривых с тангенсоидой. Упомянутые кривые, разумеется зависят от параметра С, определяемого размерами ямы. Начав, например, со значения С=1, мы получаем одну точку пересечения, обозначенную буквой α, в четном случае и вообще не получаем ни одного пересечения в нечетном случае. Следовательно, в яме такого размера имеется не более одного связанного состояния с положительной четностью. Эта яма с соответствующим уровнем показана на фиг.2,а. Для ямы больших размеров, С=1,5, кривые на фиг.2 пересекаются в точке β; по-прежнему имеется только одно состояние с положительной четностью (фиг.2,б), причем E_β < E_α, поскольку (ka)_β>(ka)_α. Если еще увеличить размер ямы, взяв, например, С=2, то пересечение в точке γ даст еще более низкое состояние с положительной четностью (E_γ E_β), но, кроме того, к нему добавиться состояние с отрицательной четностью, соответствующее пересечению в точке α^’ (фиг.2,в). С дальнейшим увеличением размеров ямы ее «вместимость» возрастает (фиг.2, г-е): число связанных состояний растет с положительной и отрицательной четностью. Что касается собственных функций, то они следуют общему правилу: чем больше у них нулей, тем выше их положение на шкале энергий. Волновые функции четырех низших состояний показаны для случая С=5 на фиг.3.

В классической механике частица могла бы колебаться между стенками (точки x= ± a), ограничивающими яму, при любом значении энергии. Вне ямы ее кинетическая энергия была бы отрицательна, поэтому область вне ямы классически не достижима.

В квантовой механике мы не имеем такого жестокого ограничения. Вероятность P_i обнаружить частицу внутри ямы оказывается меньше единицы:

 

 

Таким образом, имеется конечная вероятность того, что частица находиться снаружи. Для всякого конечного интервала вне ямы вероятность убывает экспоненциально, как

, по мере увеличения расстояния  между частицей и ямой.

 

Заключение

 

В ходе выполнения курсовой работы были реализованы поставленные задачи, а именно:

ü рассмотрен такой класс веществ, как полупроводники,

ü определена сущность квантового размерного эффекта в полупроводниках, которая состоит в изменении энергий возбуждения, а также в модификации их плотности состояний,

ü проиллюстрирован квантовый размерный эффект электронов и дырок,

ü схематически рассмотрено резонансное туннелирование через квантовую яму с двойным барьером,

ü изучены вольт-амперные характеристики приборов с резонансным туннелированием,

ü найдены связанные решения и соответствующие им собственные значения в случае прямоугольной ямы.

Появление полупроводниковых материалов, которые оказываются более чистыми, принадлежат к иному классу или имеют искусственно созданную структуру, часто приводит и к открытиям новых явлений, а также к новым применениям. Прекрасным примером является изготовление синтетических слоистых структур, например, квантовых ям и сверхрешеток. Хотя первоначально эти структуры были предложены для применения в электронных приборах, позже их значение оказалось намного шире всего, что можно было вообразить. Они стали толчком, способствовавшим развитию многочисленных новых областей, не связанных с физикой полупроводников и электронными приборами, таких как материаловедение, физик поверхностей, молекулярные физика и химия. Учитывая тот факт, что многие новые методы роста и изготовления полупроводников изучаются и совершенствуются в ведущих лабораториях мира, можно уверенно предсказать, что физика полупроводников не достигла насыщения и продолжает быстро развиваться.

 

Список литературы

 

1. Ю П., Кардона М. Основы физики полупроводников / Пер. с англ. И.И. Решиной. Под ред. Б.П.Захарчени. - 3-е изд.- М.: ФИЗМАТЛИТ,2002.- 560 с.