Раздел II. Квантовый размерный эффект

полупроводник квантовый электрон резонансный

Исследуем свойства электронов и фононов в кристалле, который конечен и существуют два бесконечно высоких барьера на расстоянии L друг от друга, которые могут отражать блоховские волны вдоль направления z. Классическим примером волн, ограниченных в одном измерении двумя непроницаемыми барьерами, является колеблющаяся струна с двумя фиксированными концами.

Хорошо известно, что нормальные колебательные моды такой струны представляют собой стоячие волны с длиной волны λ, принимающей дискретные значения вида

λ_n=2L/n, n=1,2,3,… (2.1)

Другим классическим примером является интерферометр Фабри-Перо. В результате многократных отражений в концевых зеркалах, образующих резонатор, в спектре пропускания прошедших через интерферометр электромагнитных волн появляются максимумы и минимумы при дискретных длинах волн. Если пространство внутри резонатора заполнено воздухом, условием конструктивной интерференции будет выражение (2.1). В минимуме пропускания волну можно считать «запертой» в интерферометре.

Для свободной частицы с эффективной массой m*, движение которой в кристалле в направлении z ограничено непроницаемыми барьерами (т.е. барьерами с бесконечной потенциальной энергией), разрешенные значения волновых векторов k_z блоховских волн имеют вид

_zn= 2π/λ_n = nπ/L, n=1,2,3,… (2.2)

а энергия основного состояния по сравнению с состоянием без ограничения возрастает на величину

∆E = ħ²k²_z1/2 m* = ħ²π²/2 m^*L² (2.3)

Это увеличение энергии называется энергией размерного квантования частицы. Энергия размерного квантования является следствием принципа неопределенности в квантовой механике. Если частица ограничена в пространстве в пределах расстояния L (вдоль направления z), неопределенность z-компоненты ее импульса возрастает на величину порядка ħ/L. Соответствующее увеличение кинетической энергии частицы дается тогда выражением (2.3). Поэтому данный эффект часто называют квантовым размерным эффектом. Кроме увеличения минимальной энергии частицы квантовый размерный эффект приводит также к квантованию энергий ее возбужденных состояний.

Важно проводить различие между ограничением, обусловленным барьерами, и локализацией вследствие рассеяния на примесях. В полупроводниках свободные носители заряда рассеиваются на фононах и дефектах со средним временем рассеяния ⧼τ⧽. Можно определить их среднюю длину свободного пробега ⧼l⧽ как произведение средней скорости на ⧼τ⧽. Подобное рассеяние также может уменьшить неопределенность в положении частицы и, следовательно, увеличить неопределенность ее импульса. Последнее приводит к неопределенности в энергии частицы на величину, задаваемую выражением (2.3) с L²≃ ⧼l²⧽. Этот эффект обычно связан с дефектами или беспорядком в твердых телах и отличается от эффектов квантового ограничения («конфайнмента»). Одним из способов провести различие между двумя указанными случаями является исследование волнового вектора k_z вдоль направления ограничения. Волновой вектор частицы, движение которой происходит без рассеяния, но ограничено квантовой ямой, дискретен, поскольку он соответствует стоячей волне и дается выражением (2.2). Рассеяние на дефектах приводит к нарушению фазы волны, так что ее амплитуда экспоненциально убывает в пределах длины свободного пробега ⧼l⧽. Фурье-преобразование такой затухающей волны показывает, что в рассматриваемом случае k_z не является дискретным, а имеет лоренцево распределение с шириной, равной 1/⧼l⧽. Тионг и др. предложили модель для оценки ⧼l⧽ для фононов по сдвигу частоты и уширению оптического фонона, локализованного на дефектах, введенных путем ионной имплантации.

Большинство возбуждений имеют конечное время жизни. Например, оптические фононы затухают вследствие взаимодействия с другими фононами (посредством ангармонизма) или взаимодействия с дефектами. В результате их энергии имеют мнимую часть, описываемую постоянной затухания Г. Роль Г сводится к уширению энергетических уровней. Поэтому для возникновения эффектов размерного квантования необходимо, чтобы энергия квантования была по крайней мере равна Г. Это, как следует из (2.3), эквивалентно существованию максимального размера L, при котором еще возможно наблюдение подобных эффектов. Другими словами, если L слишком велико, то произойдет затухание возбуждения до того, как оно достигнет барьера. Поскольку энергия размерного квантования обратно пропорциональна m*, эти эффекты труднее наблюдать для тяжелых частиц. Необходимо охладить образец до низких температур (для уменьшения Г), чтобы иметь возможность фиксировать малые энергии квантования.

Квантовый размерный эффект не только изменяет энергии возбуждений, но также модифицирует их плотность состояний (ПС). В общем случае ее уменьшение приводит к «усилению» сингулярности в ПС в критической точке. Например, при уменьшении размерности от трех в объемных образцах до двух в квантовых ямах электронная ПС вблизи запрещенной зоны Е_g меняет вид от функции с порогом, зависящей от энергии фотона ħω как (ħω - E_g)¹/², до функции в виде ступеньки. Поскольку вероятности переходов, вычисляемых с помощью Золотого правила Ферми, зависят от плотности конечных состояний, квантовый размерный эффект существенно влияет на динамику процессов рассеяния в полупроводниковых приборах. Лазерные диоды, изготовленные на основе КЯ, обладают большей эффективностью и меньшим пороговым током, чем соответствующие объемные лазерные диоды. Предсказывается, что лазеры на квантовых точках (нуль-размерные) должны иметь еще меньшие пороговые токи. Кроме того, их частоты генерации будут значительно менее чувствительны к изменениям температуры.