Методы анализа основной тенденции

Выбор стратегии и методов предварительной обработки и анализа рядов динамики безусловно зависит от конечной цели исследователя. Однако, как правило, первым этапом является оценка тренда временного ряда.

Любой ряд динамики может быть разделен на три компоненты:

(t) = f (t) + g (t) + h,

где f(t) - детерминированная компонента, представляющая собой некоторую аналитическую функцию, выражающую тенденцию в ряду динамики;

g(t) - стохастическая компонента, моделирующая характер периодической и квазипериодической вариации исследуемого явления;

h - случайная компонента типа «белый шум».

Таким образом, вычитание тренда из исследуемого ряда динамики является изменением масштаба данных и сохраняет полную информацию о вариации явления. [5]

Для длинных рядов выделение тренда носит обычно разведочный характер, так как часто невозможно указать подходящую параметрическую кривую для аппроксимации ряда на всей его длине. Для выделения тренда в этом случае используют различные непараметрические методы анализа временных рядов, такие как, сглаживание скользящими средними или скользящими медианами, частотную фильтрацию и т.п. [6] В отличие от параметрических методов выделения тренда, эти методы пригодны лишь для осреднения значений ряда по точкам некоторой окрестности и не могут быть использованы для прогнозирования (экстраполяции) динамических рядов, поскольку не дают в явном виде расчетного уравнения детерминированной компоненты f(t). Однако получение достаточно гладкой траектории дает возможность визуально оценить наличие тенденции в условиях сильной зашумленности, а также выделить ряд остатков y(t) = x(t) - f(t), как случайную компоненту временной последовательности, если конечной целью исследования является построение моделей авторегрессии для прогнозирования. [7]

Метод укрупнения интервалов

Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики является укрупнение интервалов. Этот способ основан на укрупнении периодов, к которым относятся уровни ряда динамики. Например, преобразование месячных периодов в квартальные, квартальных в годовые и т.д. [8]

Метод скользящих средних

Метод скользящих средних базируется на предположении, считающимся тривиальным: при определении средних значений случайные отклонения погашаются. При сглаживании этим методом фактические значения ряда динамики заменяются средними значениями, которые характеризуют срединную точку периода скольжения. [9]

Простое сглаживание основывается на составлении нового ряда из простых средних арифметических, исчисленных для промежутков времени длиной q:

,

где длина периода сглаживания q зависит от характера временного ряда, а также от цели сглаживания и выбирается исследователем; k - порядковый номер средней.

Взвешенное сглаживание состоит в определении средних, взвешенных для разных точек ряда динамики. В основе метода лежит идея локального приближения тренда полиномом не очень высокой степени. Значения оценки тренда в точке t аппроксимируются по уровням ряда из временного интервала [t - q, t + q] полиномом заданного порядка p:

,

параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов с помощью уравнений типа:

Решая полученные уравнения относительно a_i, получим последовательность весов, зависящих только от ширины интервала (2q + 1) и порядка полинома p, а расчет значений оценок тренда в точке t эквивалентен построению взвешенной суммы значений ряда в интервале [t - q, t + q]. Для полинома порядка 1 веса a_i равны между собой, что сводит этот метод к простому сглаживанию.

На практике часто используется сглаживающий фильтр Хэмминга - взвешенное скользящее среднее с весами 0.25, 0.5 и 0.25, соответствующее формуле:

= 0.25 x (t -1) + 0.5 x(t) + 0.25 x (t +1)

(концевые точки копируются: = x(0), = x(n)). [10]

Метод скользящих средних имеет ряд преимуществ перед другими методами:

· скользящая средняя дает функцию тренда, в наибольшей мере приближенную к значениям исследуемого ряда, поскольку для отдельных частей ряда выбирается наилучшая тенденция;

· к исследуемому ряду могут быть прибавлены новые значения;

· нахождение тренда не связано с большими вычислительными трудностями.

Недостатком метода скользящей средней является то обстоятельство, что при увеличении периода скольжения теряется информация о крайних периодах ряда, что недопустимо при некоторых приемах анализа временных рядов (например, при спектральном анализе). Кроме того, этот метод (и другие, подобные ему) может вызывать автокорреляцию остатков, даже если она отсутствовала в исходном ряду - так называемый эффект Слуцкого - Юла [11]

Метод экспоненциального сглаживания

Метод экспоненциального сглаживания применяется для прогнозирования нестационарных временных рядов, имеющих случайные изменения уровня и угла наклона, и известен под названием метода Брауна.

В качестве основной модели ряда рассматривается его локальная аппроксимация в виде полинома невысокой степени p:

x(t) = a₀(t) + a₁(t) t + a₂(t) t ² + … + a_p(p) t ^p + h,

коэффициенты которого a_i медленно меняются со временем.

Если, например, ограничиться линейной моделью, то коэффициенты a₀(t) и a₁(t) оцениваются

a₀(t) = x(t) + b ²[x*(t -1) - x(t)],

a₁(t) = a₁(t -1) + a ² [x*(t -1) - x(t)],

где a - параметр сглаживания в диапазоне 0 < a < 1; b = 1 - a; x*(t -1) - предыдущее сглаженное значение. В качестве начальных значений оценок коэффициентов модели берутся

₀(0) = 4x(1) + x(2) - 2x(3); a₁(0) = x(3) - x(1).

Таким образом, вычислительный процесс устроен как адаптивная процедура, в которой коэффициенты полинома пересчитываются по старым коэффициентам и новым данным с экспоненциально убывающими весами, причем наибольший вес приписывается последнему наблюдению. Процесс вычислений управляется двумя параметрами: порядком аппроксимирующего полинома p и параметром сглаживания a. В ходе вычислений строится сглаженный ряд, представляющий собой в каждый момент времени t прогноз по данным до момента (t - 1) включительно.

Выбор параметра сглаживания a представляет собой достаточно сложную проблему. Чем ближе параметр сглаживания к единице, тем больше влияние последних наблюдений и тем больше скорость убывания весов. Однако, если высокочастотная компонента ряда имеет достаточно большую дисперсию, не следует использовать большие значения параметра сглаживания из-за плохого качества прогноза.

Модификацией метода экспоненциального сглаживания для сезонных рядов являются методы Уинтерса и Тейла-Вейджа. [12] В качестве модели ряда используется его представление в виде комбинации линейного тренда с сезонной составляющей, наложенной либо мультипликативно (модель Уинтерса), либо аддитивно (модель Тейла - Вейджа). Предполагается, что коэффициенты тренда и сезонная составляющая могут медленно меняться во времени. В соответствии с этим вычислительный процесс устроен как адаптивная процедура, управляемая тремя параметрами адаптации (один параметр - адаптация уровня, второй - угла наклона, третий - коэффициентов сезонности). Каждый параметр должен находится в интервале от 0 до 1: чем ближе параметр к единице, тем больший вес приписывается последним наблюдениям. В ходе вычислений строится сглаженный ряд, представляющий собой в каждый момент времени t прогноз по данным до момента (t -1) включительно.

Метод аналитического выравнивания

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития явления рассчитывается как функция времени. Определение теоретических (расчетных) уровней изучаемого явления производится на основе так называемой адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики при применении метода аналитического выравнивания.

Подбор адекватной функции при аналитическом выравнивании ряда осуществляется методом наименьших квадратов - минимальностью отклонений суммы квадратов между теоретическими и эмпирическими уровнями: При изучении тренда уравнение принимается в качестве критерия оценки соответствия расчетных (теоретических) уровней с фактическими (эмпирическими) уровнями ряда динамики.

Важнейшей проблемой, требующей своего решения при применении метода аналитического выравнивания ряда, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на этой основе трендовая модель может иметь полезное применение при изучении сезонных колебаний, прогнозировании и других практических целях. Одним из условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания в анализе рядов динамики является знание типов развития социально-экономических явлений во времени, их основных отличительных признаков. В практике статистического изучения ряда динамики в основном используют эталонные типы развития социально-экономических явлений во времени: 1) равномерное развитие; 2) равноускоренное (равнозамедленное) развитие; 3) развитие с переменным ускорением (замедлением); 4) развитие по экспоненте; 5) развитие с замедлением роста в конце периода. [13]