Математический подход к анализу безубыточности

Для проведения анализа безубыточности производства можно использовать математические подходы или метод уравнений. В этом случае так же, как и при построении бухгалтерской графической модели, принимается допущение, что цена реализации и расходы (издержки) на единицу продукции являются величинами неизменными. В результате прибыль от реализации продукции будет меняться в зависимости от произведенного объема. Такое допущение распространяется на переменные издержки и цену производимой продукции. При этом не следует забывать, что постоянные расходы не изменяются с изменением объемов производства, а являются величиной постоянной. Они обладают способностью изменяться в расчете на единицу продукции при изменении объемов производства. Соответственно, прибыль на единицу продукции не будет величиной постоянной при разных объемах производства, и при изучении зависимости прибыли, объемов и себестоимости следует принимать во внимание постоянные расходы полностью, а не в расчете на единицу продукции.

Для представления информации по издержкам, объему производства и прибыли вместо диаграммы можно использовать математические зависимости. Математический подход - более гибкий метод получения надлежащей информации, чем графический метод, и особенно подходит для ввода данных в компьютерную финансовую модель.

При разработке математической формулы для получения информации по издержкам, объему производства и прибыли следует иметь в виду, что цена реализации и издержки на единицу продукции считаются постоянными. Такое допущение может быть реальным для цены реализации единицы продукции и переменных издержек, однако необходимо помнить: в гл. 2 отмечалось, что постоянные издержки представляют собой постоянную совокупную величину, а издержки на единицу продукции изменяются в зависимости от уровня производства. В результате прибыль на единицу продукции также изменяется в зависимости от объема производства. Например, если постоянные издержки составляют $ 10 000 за определенный период, а выпуск продукции равен 10 000 ед., то постоянные издержки - $ 1 на единицу продукции. С другой стороны, если выпуск продукции составляет 5 000 ед., то постоянные издержки равны $ 2 на единицу продукции. То есть прибыль на единицу продукции не будет постоянной при разных уровнях производства. Поэтому подсчитывать постоянные издержки на единицу продукции для того, чтобы делать выводы об издержках по данным анализа объема производства и прибыли, неправильно.

Математическую формулу можно вывести из зависимости:

Чистая прибыль = (Количество проданных единиц продукции * Цена реализации единицы) - [(Количество проданных единиц продукции * Переменные издержки на единицу) + Совокупные постоянные издержки].

Введем в это уравнение соответствующие обозначения: КР - чистая прибыль; Х - количество проданных единиц продукции; Р - цена реализации; Ъ - переменные издержки на единицу продукции; а - совокупные постоянные издержки. Получим формулу:

N Р = Рх - (а + b х).

Теперь, используя данные из примера 1, можно ответить на вопросы.

1. При каком уровне производства Thatcher Ltd. работает безубыточно (т.е. без прибыли и без убытков)?

. Сколько единиц продукции необходимо продать для получения
$ 30 000 000 прибыли?

. Какая будет прибыль в результате сокращения переменных издержек
на 10% и постоянных издержек на $ 10 000 000 при допущении, что
текущий объем реализации можно сохранить прежним?

. Какую цену реализации следовало бы установить для получения при-
были в размере $ 30 000 от реализации 8 000 ед. продукции?

5. Какой дополнительный объем продаж необходим для покрытия добавочных постоянных издержек в размере $ 8 000 в связи с предложенным расширением предприятия?

Пример 1

Тhatcher Ltd.: данные для примера анализа безубыточности.

Постоянные издержки за год, $        60 000

Цена реализации единицы продукции, $    20

Переменные издержки на единицу продукции, $10

Текущий объем реализации, ед.       8 000

Возможный диапазон объемов производства, ед. 4 000-12 000

1. Точка безубыточности в единицах продукции

Поскольку NР = Рх - (а + b х), точка безубыточности будет на том уровне производства (x), на котором

а + b х = Рх - N Р.

Используя данные примера 1, получим:

000 + 10х = 20x - 0;

000 = 10х;

х = 6 000 ед.

(или $120 000 совокупной реализации по $ 20 за единицу продукции).

Можно также использовать альтернативный метод, называемый методом валовой прибыли. Валовая прибыль равняется объему реализации за вычетом переменных издержек. В связи с тем, что переменные издержки на единицу продукции и цена реализации единицы продукции считаются постоянными, доля валовой прибыли в цене единицы продукции также считается постоянной. Из примера 1 видно, что каждая проданная единица продукции дает выручку в $ 10, которая может пойти на покрытие постоянные издержек, а после - на увеличение прибыли. Когда получена достаточная совокупная выручка для покрытия постоянных издержек, достигается точка безубыточности, и альтернативная формула будет иметь вид:

Точка безубыточности в единицах продукции = Постоянные издержки /Выручка на единицу продукций.

Метод валовой прибыли можно соотнести с математическим подходом. Рассмотрим предпоследнюю строку согласно формуле

= 10х;

Х =60000/10

что дает формулу валовой прибыли:

Постоянные издержки

Выручка на единицу продукции

Таким образом, метод валовой прибыли - другое выражение математической формулы. Можно выбрать любой из этих методов по желанию.

2. Количество единиц продукции, которое необходимо
реализовать для получения прибыли в размере & 30.000

Используя уравнение NР = Рх - (а + bх) и данные примера 1, получим:

000 = 20х - (60 000 + 10х);

000 = 10х;

х = 9 000 ед.

Если прибегнуть к методу валовой прибыли и поставить целью выйти на желаемый ее уровень, то необходимо добиться достаточно высокой выручки для покрытия постоянных издержек (т.е. достичь точки безубыточности), а также дополнительной выручки для обеспечения желаемой прибыли. Поэтому уравнение по методу валовой прибыли будет выглядеть так:

Количество реализованных единиц продукции для получения желаемой прибыли = Постоянные издержки *. Желаемая прибыль

Выручка на единицу продукции

Это лишь другое выражение предпоследней строки формулы

=10x;

X= 90000/10

3. Сокращение постоянных издержек на $ 10 000 и 10%-ное сокращение переменных издержек

Произведя замены в уравнении NР = Рх - (а + b х), получим:

NP = 20 (8 000) - [50 000 + 9 (800)];

NP= 160 000 - (50 000 + 72 000);

NР = $38 000.

4. Необходимая цена реализации для получения прибылив размере

$ 30000 при реализации 8000 ед. продукции

30 000 = 8000 P - (60 000+10 * 8 000);

000 = 8000Р - 140 000;

P = 170 000;

Р= $ 21,25. (т.е. увеличение в размере $ 1,25 на единицу продукции).

5. Дополнительный объем реализации для покрытия
дополнительных постоянных издержек в размере $ 8 000

Выручка на единицу продукции составляет $ 10, постоянные издержки увеличатся на $8 000. Следовательно, необходимо дополнительно реализовать 800 ед. продукции для покрытия дополнительных постоянных издержек в размере $ 8 000.