Выбор теоретического закона распределения для выравнивания опытной вероятности

 

Полученное значение коэффициента вариации v = 0,478 находится в интервале 0,30…0,50, следовательно, выбираем тот закон распределения, который лучше совпадает с распределением опытной информации.

Проверку совпадения опытных и теоретических законов распределения показателя надежности производят по критериям соответствия Пирсона, Колмогорова или Стьюдента.

Критерий согласия Пирсона χ² представляет собой сумму квадратов отклонений опытных и теоретических частот в каждом интервале укрупненного статистического ряда информации.

 

 (9)

 

где n _y - число интервалов в укрупненном статистическом ряду;

m_i - опытная частота в i-ом интервале укрупненного статистического ряда;

m_тi - теоретическая частота в i-ом интервале укрупненного статистического ряда.

Теоретическая частота

 

m_тi = N [F(t_i) - F(t_i-1)], (10)

 

где N - число точек информации;

F(t_i) и F(t_i-1)] - интегральные функции i-го и (i-1) - го интервалов статистического ряда.

Интегральную функцию закона нормального распределения (ЗНР) определяют по равенству

 

, (11)

 

где  - центрированная и нормированная интегральная функция, определяемая по приложению 4 справочного материала /1/;

При этом используем также уравнение

F₀(-t) = 1 - F₀(t). (12)

 

Значение интегральной функции для каждого интервала при ЗНР

,

,

,

,

,

,

Интегральную функцию закона распределения Вейбулла (ЗРВ) определяют из приложения 4 справочного материала /1/, по величине параметра ЗРВ - b и отношению (t _iк - t _см) / а, где а - параметр ЗРВ, используя уравнение

 

, (13)

 

где t_ki - значение конца i-го интервала.

Параметр b определяют по приложению 5 справочного материала /1/по найденному значению коэффициента вариации v = 0,478. При этом получим, что параметр b = 2,2, коэффициенты К_В = 0,89, С_В = 0,43.

Параметр а рассчитывают по уравнению

 

, (14)

.

Значение интегральной функции для каждого интервала при ЗРВ

,

,

,

,

,

,

Значение теоретической частоты при ЗНР

m_т1 = 50·(0,13 - 0) = 6,5

m_т2 = 50·(0,32 - 0,13) = 9,5

m_т3 = 50·(0,56 - 0,32) = 12

m_т4 = 50·(0,79 - 0,56) =11,5

m_т5 = 50·(0,93 - 0,79) = 7

m_т6 = 50·(0,98 - 0,93) = 2,5

Значение теоретической частоты при ЗРВ

m_т1 = 50·(0,136 - 0) = 6,8

m_т2 = 50·(0,361 - 0,136) = 11,25

m_т3 = 50·(0,606 - 0,361) = 12,25

m_т4 = 50·(0,805 - 0,606) =9,95

m_т5 = 50·(0,916 - 0,805) = 5,55

m_т6 = 50·(0,970 - 0,916) = 2,7

Критерий согласия Пирсона:

при ЗНР

;

при ЗРВ

.

Для дальнейших расчетов принимаем тот закон распределения, у которого меньше критерий Пирсона χ². Судя по значениям критериев согласия ЗНР и ЗРВ приемлем закон распределения Вейбулла.

Определяем вероятность совпадения опытных и теоретических данных распределений, пользуясь критерием согласия χ². Для входа в таблицу определяем номер строки

 

N = n_y - K, (15)

 

где n_y - число интервалов в укрупненном статистическом ряду;

К - число обязательных связей.

Для ЗНР число обязательных связей равно трем: , σ, .

N = 6 - 3 = 3.

Следовательно, значения критериев χ² находим во второй строке таблицы, а вероятность совпадения Р - в заглавной строке. Вероятность совпадения ЗРВ составляет менее 10%.

Критической вероятностью совпадения принято считать Р = 10%. Полученная вероятность совпадения Р ˂ 10%, следовательно, выбранный для выравнивания опытного распределения теоретический закон следует считать пригодным.

Рассчитываем значение дифференциальной функции ЗРВ в серединах интервалов исходного статистического ряда по уравнению

 

, (16)

 

где А - длина i-го интервала;

t_ci - середина i-го интервала.

При этом используем также уравнение

 

f₀(-t) = f₀(+t). (17)

 

,

,

,

,

,

.

По полученным данным строим график дифференциальной и интегральной функции.