Методические указания по выполнению контрольных задач

К разделу Теоретическая механика.

Задачи №1-3 Раздел Теоретическая механика

Рекомендуется прочитать общие методические указания, прежде чем приступить к выполнению контрольной работы.

К задаче 1

В задаче требуется определить силы в стержнях фермы аналитическим и графическим способами.

К решению задачи можно приступить только после изучения тем «Основные понятия и аксиомы статики», «Плоская система сходящихся сил».

Аналитический способ решения. При расчете многостержневых конструкций (ферм) необходимо ввести обозначения стержней и узлов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы (места соединения двух или нескольких стержней) — буквами.

Так, на рис. 1 узлы обозначены буквами А, В, С, D, Е, стержни — цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Порядок обозначения стержней и узлов может быть произвольным. Определе­ние сил в многостержневых конструкциях производится последова­тельным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящих­ся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы S X _i = 0 S Y_i = 0, необходимо помнить, что, решая эти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматривается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис. 1 является узел С.. Прежде чем приступить к расчетам, конструкцию необходимо представить в виде расчетной схемы.

Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке (рис. 2). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесенными на нее силами, с указанием углов. Изображенная на рис. 2 расчетная схема узла С получена следующим образом.

 

Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заменив действие стержней реакциями R₁ и R₂. Реакция стержня направлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него силы: F ₁ , R ₁ , R ₂.

Из них: F₁ — активная сила, внешняя нагрузка, известная по модулю и направлению; R₁ и R₂ — численно неизвестные реакции связей, направленные вдоль стержней, но пока неизвестно в какую сторону.

При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут; в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отрицательной, то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат. Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непараллельные оси порознь равнялась нулю.

Напоминаем, что проекция силы на ось равна взятому с соответствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций. Заметим, что если оси проек­ций взаимно перпендикулярны, то не обязательно вычислять оба угла между линией действия силы и каждой осью проекций. В этом случае проекцию силы на одну ось можно вычислять как произведение силы на косинус острого угла между линией действия силы и данной осью, а проекцию этой же силы на другую ось — как произведение силы на синус того же угла.

Направим ось x по реакции R₁, а ось у — перпендикулярно ей. Та­кое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что, безусловно, облегчит решение полученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение равновесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирова­ния углы

Угол α между реакциями R₁ и R ₂ находим, исходя из геометриче­ских размеров заданной конструкции (см. рис. 1, а).

Из ∆ АКС следует:

 

tg β = АК/КС = 0,5/4 = 0,125 и β = 7°.

Из ∆ ВКС:

t g (β + а) = ВК/КС =3/4 = 0,75 и β + α = 37°.

 

Таким образом, угол α = 30°.

Угол между F₁ и осью у равен углу β = 7° как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия 1) S X _i = 0; 2) S Y_i = 0 системы сил, сходящихся в узле С:

 

S X_i = - R_i - R₂ cos 30° - F₁ cos 83° = 0;

S Y_i = - F₁ cos 7° - R₂ cos 60° = 0

Из второго уравнения определяем

 

R ₂ = - F ₁ cos 7°/ cos 60° = - 10 · 0,99 /0,5 = - 19,8кН.

Из первого уравнения определяем

 

R ₁ = - R ₂ cos 30° - F ₁ cos 83° = 19,8 · 0,86– 10 · 0,12= 16 кН.

 

Знак минус у значения R₂ показывает, что на самом деле стержень 2 сжат силой 19,8 кН.

Силы в стержнях соответственно равны N₁ = R ₁ = 16 кН (растя­жение), N ₂ = R ₂ = 19,8 кН (сжатие).      

Для определения сил в стержнях 3 и 4 вырезаем узел D. Расчетная схема узла D изображена на рис. 3. Направление неизвестных реак­ций R ₃, R ₄ принимаем от узла, считаем, что стержни растянуты. Силу R₂ = 19,8 кН направляем к узлу, так как из предыдущего расчета известно, что стержень 2 сжат. Направим ось х по реакции R₄, ось у — перпендикулярно ей.

Угол между горизонтом и направлением силы R₄ равен (β + α) = 37° (см. рис. 1, a). Угол, образуемый осью у и силой R₃, — также 37°. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси:

 

S X_i = - R₄ – R₂ + R₃ cos 53° = 0;

S Y_i = R₃cos 37° = 0.

 

Из второго уравнения R₃ = 0. Из первого уравнения R₄ = - R ₂ = - 19,8 кН.

В результате N₃ = R ₃ = 0 (стержень сжат).

Графический способ решения. Определим этим способом силы в стержнях 1 и 2. Из трех сил, действующих на узел С, известна сила F₁ по модулю и направлению. Выбираем масштаб сил, например 5 кН в одном сантиметре (Масштаб сил 5 кН/см) и строим силовой треугольник (см. рис. 1,б). Из произвольной точки а в принятом масштабе откла­дываем отрезок ab, равный силе F₁ = 10 кН. Из начала и конца от­резка ab проводим прямые, параллельные стержням 1 и 2, до их пере­сечения в точке с. Получаем замкнутый силовой треугольник abc, в котором вектор = F _i, вектор  = R₂ и вектор = R₁. Изме­рив длины сторон b c и са (см) и умножив на масштаб 5 кН/см, на­ходим силы в стержнях 1 и 2:

 

N₁ = R ₁ ≈ l6 кН, N ₂ = R ₂ ≈ 20 кН.

 

Мысленно перенеся направление найденных реакций на соответствующие стержни схемы конструкции, видим, что сила R₁направлена от узла, а это значит, что стержень растянут; сила R₂ направлена к узлу и, следовательно, стержень сжат.

К задаче 2.

Требуется определить значение опорных реакций балок двухопорной или жестко защемленной.

а) Двухопорная балка (рис. 7, а). Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. В предыдущей задаче мы встречались с такого рода опорами. Изобразим расчетную схему балки (рис. 7, б).

Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными вертикальными реакциями V_А и V _B, поскольку в дан­ной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующей F _q, которая равна произведению интенсивности q (кН/м) на длину, участка ее приложения, т. е. F _q = ql = 10 · 3 = 30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределенной нагруз­кой.

На расчетной, схеме, балки (рис. 7, б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратите на расположение распределенной нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, часто возникающих при определении плеча силы F_q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направле­ния действия.

Для двухопорных балочных систем при определении опорных реак­ций самыми рациональными являются уравнения моментов относи­тельно опор А и В. Составляем эти уравнения:

 

S M_A = F_qb + M – V_B (b + c) + F (b + c + d) = 0;

 

кН;

 

S M_B = V_A(b + c) – F_qc + M + Fd = 0;

 

кН.

 

Так как определение реакций — первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во из­бежание ошибок при вычислении необходимо производить проверку найденных значений реакций. Составим уравнение проекций всех сил на ось у

 

S Y_i = V_A– F_q + V_B- F = 13,3 - 30 + 31,7 - 15 = 45 - 45 = 0.

 

Если это равенство не удовлетворяется, следовательно, при определе­нии опорных реакции была допущена ошибка.

 

б) Консольная балка (рис. 8, а). Балка с защемленной опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы: линейных перемещений вдоль осей х и у и возможности поворота в плоскости этих осей. Соответственно в за­щемлении появляются три неизвестные реакции: V _A , H_A и реактивный момент заделки М _A (рис. 8, б).

Для их определения наиболее удобны­ми являются следующие уравнения равновесия:        1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М _A = 0 — для определения реактивного момента М _A, так как силы V_A и Н _A, приложенные к точке А, в уравнение не войдут (их моменты относи­тельно точки А равны нулю).

2. S Y_i = 0 — для определения вертикальной реакции V_A.

3. S X _i = 0 — для определения горизонтальной реакции Н _A.

По расчетной схеме балки (рис. 8, б) составим уравнения равнове­сия

 

S М _A = - М _A + Fa + М + F_q ( b + а) = 0.

Отсюда

 

M_A = F а + М + F_q(b+a) = 8 · 0,5 + 10 + 2 · 1,5= 17 кН · м.

 

Значение М _A> 0, следовательно, принятое направление момента правильное.

Из уравнения S Y _i = V _A - F – F _q = 0 находим V _A = F + F _q = 8 + 2= 10 кH.

Из уравнения S X _i = 0 следует, что H_A = 0.

Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В:

 

S M_B = - M_A + M + V_Al –F(b + с ) – F_qc = - 17 + 10 + 10 · 2,0 – - 8 · 1,5 – 2 · 0,5= - 30 + 30 = 0.

 

Реакции вычислены правильно.

К задаче 3

Перед тем как приступить к решению соответ­ствующей задачи, следует изучить тему «Центр тяжести», твердо усвоить понятие статического момента, знать положение центров тя­жести простейших геометрических фигур и уметь определить коорди­наты центров тяжести сложных сечений, представляющих собой со­вокупность простейших геометрических фигур, а также сечений, состав­ленных из стандартных профилей проката (в последнем случае необ­ходимо уметь пользоваться таблицами ГОСТов), приведенными в при­ложениях 1 - 4. Знания и навыки по данной теме потребуются при изу­чении темы 2.3 «Геометрические характеристики плоских сечений».

а) Определение координат центра тяжести сечения геометрической формы рассмотрим на примере (рис. 9).

Приложение центра тяжести фигуры сложной формы можно опре­делить, разбив эту фигуру на пять элементов простой формы, положе­ния центров тяжести которых известны:

I – прямоугольник 25´30 см с центром тяжести C₁;

II - прямоугольник 55´10 см с центром тяжести С₂;

III - прямоугольник 25´45 см с центром тяжести С₃;

IV - два треугольника с центрами тяжести С₄ и C ¢ ₄.

Нанесем на сечение координатные оси. Ось у совместим с осью симметрии сечения. Ось х проводим перпендикулярно ей по нижней грани сечения. Поскольку сечение симметрично относительно вертикальной оси и, следовательно, x_c = 0, потребуется определить только ордина­ту у _cцентра тяжести по формуле y_c = S _x/A, где А — площадь се­чения; S _x - статический момент сечения относительно оси х, опреде­ляется как сумма произведений площадей простых фигур на ординаты их центров тяжести

Определяем площади составных частей фигуры и координаты их центров тяжести относительно выбранной оси, исходя из размеров се­чения

 

                                 I. A₁ = 25´30 = 750 см²,                 y₁ = 70 см;

                                 II. A₂ = 55´10 = 550 см²,                у ₂ = 50 см;

                                III. А₃ = 25´45 = 1125 см²,             у₃ = 22,5 см;

IV. А₄ = А ¢ ₄ = 15 · 45/2 = 337,5 см²,    у₄ = у ¢ ₄ = 30 см.

 

Находим статический момент площади сечения

 

S _x = A₁y₁ + А₂у₂ + А₃у₃ + 2A ₄ y ₄ = 750 · 70 + 550 · 50 ++ 1125 · 32,5 + 2 · 33,7 · 30 = 125562,5 см³.

 

Площадь сечения

А= А₁ + A ₂ + А₃ + 2A ₄ = 750 + 550 + 1125 ++ 337,5 · 2 = 3100 см².

 

Находим ординату центра тяжести

 

у _c = S _x/A = 125562, 5/3100 = 40,5 см.

 

Итак, точка С имеет координаты (0; 40,5).

По найденной ординате наносим на рисунок сечения точку С — центр тяжести. Разбивку рассмотренной фигуры по элементам можно было произвести иначе, как и положение оси х могло быть другим.

б) Определение положения центра тяжести сечения, составленного из прокатных профилей, рассмотрим на примере (рис. 10). Простые элементы подобных сечений — стандартные профили прокатной стали: швеллер, двутавр, полоса, равнобокие и неравнобокие уголки. Все необходимые размеры и характеристики профилей приведены в таб­лицах ГОСТа            (см. приложения 1 - 4), называемых сортаментом про­катных профилей. Порядок решения тот же, что в предыдущей задаче.

Разбиваем сечение на шесть составных частей и, обозначаем их центры тяжести. Положение центра тяжести прокатного профиля принять по сортаменту:

I – двутавр № 20 с центром тяжести C₁;

II – швеллер № 20 с центром тяжести С₂;

III – два неравнобоких уголка № 8/5 с общим центром тяжести С₃;

IV – две полосы 12´200 мм с общим центром тяжести С₄.

Положение координатных осей принимаем следующим образом ось х совмещаем с осью симметрии сечения, следовательно, у_с = 0, ось у проводим перпендикулярно оси х по наружной грани стенки швеллера. Необходимо определить лишь координату центра тяжести x_c по формуле x_c = S _y/A, где S _y —статический момент относительно оси у определяется аналогично S _x предыдущей задачи, с той лишь разницей, что в этом случае участвуют абсциссы х₁, x ₂, х₃, x ₄ центров тяжести прокатных профилей Выписываем из соответствующих таблиц сортамен­та площади профилей и, используя размеры, находим абсциссы их центров тяжести:

 

I . A ₁ = 26,8 см²,                           х₁ = l _полосы = 20 см;

II .А₂ = 23,4 см²,                            х₂= z ₀ = 2,07 см (см. приложение 2);

III .А₃ = 2 · 7,55 см²                 х₃ = = - 2,65 см (см. приложение 4);

IV.А₄ = 2(1,2 · 20) = 48 см²;       х₄ = l _полосы/2 = 10 см.

 

Полная площадь сечения

 

А= А₁ + A ₂ + А₃ + A ₄ = 26,8 + 23,4 + 15,2 + + 48 = 113,3 см².

 

Находим статический момент сечения.

 

S_y = A ₁ x ₁ + А₂ x ₂ + А₃ x ₃ + A ₄ x ₄ = 26,8 · 20 + 23,4 · 2,07 ++ 15,1(-2,65)+ 48 · 10= 1024,42 см³.

 

Определяем координату центра тяжести

 

x_c = S_y/A = 1024,42 см³ /113.3 см² = 9,04 см.

 

Итак, точка С имеет координаты (9,04; 0).

Наносим найденный центр тяжести на рисунок сечения.

Данные для задач по разделу Теоретическая механика

 

 

 

 

 

Таблица 1

Схема на рис. 11		Ва-ри-ант	F1	F2	h1	h2	l		Схема на рис. 11	Ва-ри-ант	F1	F2	h1	h2	l
			кН		м						кН		М
I		11	20	25	2,5	-	3		VI	04	30	15	1,2	2,0	2,5
										14	25	15	1,5	2,5	3,0
		21	20	15	3	-	2,5			24	15	30	0,5	2,0	2,0
		31	25	18	3,5	-	2,5			34	15	25	0,8	2,5	2,0
II		01	15	20	0,5	2	2,0		VII	07	20	40	1,2	2,5	3,0
		10	20	25	0,7	2	2,0			17	25	15	1,0	2,5	2,0
		20	20	15	1,0	2	2,0			27	15	35	0,7	3,0	2,5
		30	25	18	1,2	2	2,5
III		02	20	20	0,5	2,5	2,5		VIII	06	20	40	2,5	-	3,5
		12	15	35	0,7	2,5	2,5			16	25	15	2,0	-	2,0
		23	40	15	1,0	2	2,0			26	15	35	3,0	-	2,5
		33	20	15	1,2	2,0	2,0
IV		03	20	20	2,0	-	2,5		IX	09	20	35	1,5	3,0	3,5
		13	15	35	2,5	-	2,0			19	15	35	1,2	2,5	3,0
		22	40	15	3,0	-	3,5			29	40	15	1,0	2,0	3,0
		32	20	15	4,0	-	2,5
V		05	30	15	1,0	2,5	2,5		X	08	20	35	0,5	3,0	3,5
		15	25	15	1,5	2,5	3,0			18	15	35	0,8	2,5	3,0
		25	15	30	1,2	2,0	3,5			28	40	15	1,0	2,5	3,5
		35	15	25	0,8	2,0	4,0

Таблица 2

Схема на рис. 12	Ва-ри-ант	a1	a2	a3	F, кН	g, кН/м	М, кН· м		Схема на рис. 12	Ва-ри-ант	a1	a2	a3	F, кН	g, кН/м	М, кН· м
		М									М
I									VI	04	1,5	0,7	0,8	60	15	35
	11	0,5	1,0	-	120	10	20			14	2,0	0,5	1,0	25	8	25
	21	0,5	1,3	-	50	25	30			24	1,2	0,5	1,3	40	10	15
	31	0,8	1,2	-	40	30	35			34	1,0	1,2	0,8	30	20	15
II	01	1,5	0,7	0,8	15	10	40		VII	07	0,8	1,5	0,7	35	12	20
	10	2,0	0,5	1,0	35	25	18			17	1,0	2,0	0,5	80	18	35
	20	1,2	0,5	1,3	80	15	20			27	1,3	1,2	0,5	120	15	10
	30	1,0	1,2	0,8	25	12	15
III	02	1,5	0,7	-	20	15	20		VIII	06	1,1	0,4	0,5	25	15	30
	12	0,5	2,0	-	35	10	40			16	0,7	1,7	0,8	40	10	15
	23	0,5	1,2	-	15	20	35			26	1,2	1,2	0,6	60	18	25
	33	0,8	1,0	-	40	12	30
IV	03	0,7	1,5	0,8	25	15	30		IX	09	0,8	0,7	1,5	25	18	40
	13	0,5	2,0	1,0	40	10	25			19	1,0	0,5	2,0	40	15	25
	22	0,5	1,2	1,3	60	18	20			29	1,3	0,5	1,2	55	10	35
	32	0,8	1,0	1,2	75	10	15
V	05	0,7	1,5	-	65	18	25		X	08	0,5	0,9	-	80	15	25
	15	1,0	2,0	-	40	25	40			18	0,6	1,0	-	60	18	15
	25	0,8	1,2	-	35	10	20			28	0,4	0,8	-	120	10	40
	35	0,6	1,8	-	50	8	15

Таблица 3

 

Схема на рис. 13	Вари-ант	A	b	h1	h2	h3	Дву-тавр №	Швел-лер №	Уголок №	Полоса, мм
		См
I	00	15	20	10	90	-	20	40	14/9	220´14
	11	15	20	5	60	-	18	36	12,5/9	220´12
	21	9	15	8	75	-	12	24	11/7	180´14
	31	9	14	15	51	-	10	20	8/5	150´10
II	01	51	10	10	12	25	10	14	7/4,5	80´6
	10	45	15	20	30	50	12	16	8/5	100´8
	20	60	10	10	36	45	14	24	8/5	160´10
	30	72	15	15	15	30	16	27	9/5,6	200´10
III	02	75	42	60	15	10	12	12	4	100´8
	12	46	27	75	21	5	14	14	4,5	120´8
	23	63	21	90	30	8	16	16	5	160´10
	33	36	18	66	30	15	18	18	6,3	160´12
IV	03	90	20	80	60	10	40	30	14/9	300´14
	13	60	20	40	21	5	30	24	8/5	240´12
	22	75	15	50	30	8	27	22	9/5,6	220´12
	32	51	14	70	30	15	24	20	10/6,3	200´10
V	05	76	40	8	60	-	60	30	14/9	250´12
	15	45	27	10	75	-	40	20	10/6,8	220´12
	25	63	21	12	90	-	36	18	7/4,5	200´12
	35	36	18	10	66	-	24	12	8/5	150´10
VI	04	36	25	60	45	15	60	40	10/6,3	220´14
	14	45	30	45	66	30	40	36	12,5/8	200´12
	24	66	20	60	72	40	22	27	10/6,3	160´12
	34	60	18	50	45	20	18	24	9/5,6	150´10
VII	07	15	20	90	8	-	36	36	10	240´14
	17	15	20	60	10	-	30	30	7,5	240´10
	27	30	15	75	15	-	27	27	8	220´14
VIII	06	15	20	10	90	-	10	18	6,4/4,0	-
	16	15	30	5	60	-	12	20	7/4,5	-
	26	9	15	8	75	-	14	24	8/5	-
IX	09	21	40	60	10	-	60	40	10/6,3	220´10
	19	24	25	75	12	-	40	36	11/7	200´10
	29	27	30	90	15	-	22	27	8/5	160´10
X	08	51	10	25	12	10	30	30	7	220´10
	18	45	15	50	30	20	12	12	4	100´8
	28	42	10	45	36	10	14	14	4,5	120´8

 

Примечание. В таблице указан лишь номер профиля уголка. Выбор толщины уголка (величина d в таблицах ГОСТ 8510-72 или 8509-72) предоставляется студентам сделать самостоятельно.