Методические указания по выполнению контрольных задач к разделу Сопротивлению материалов

Задачи № 4, №5

Сопротивлению материалов должно предшествовать изучение основ расчета по предельным состояниям. В расчете по предельному состоянию единый коэффициент запаса заменен системой из нескольких коэффициентов, раздельно учитывающих условия возведения и работы конструкций, изменчи­вость нагрузок, изменчивость прочностных характеристик материалов.

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с расчетом по несущей способности.

Основными параметрами сопротивления материалов силовым воздействиям являются нормативные сопротивления R^н. За нормативное сопротивление пластичного материала принимают предел текучести, для хрупкого — предел прочности (их наименьшие значения по ГОСТу). Возможные отклонения сопротивлений материалов в неблагоприятную сторону от нормативных значений учитываются коэффициентом безопасности k по материалу. Значения его в расчетах по несущей способности принимаются не менее 1,1.

Отношение R^н/k = Rназывается расчетным сопротивлением. Оно и принимается при расчете конструкций.

Основными характеристиками нагрузок (воздействий), являются их нормативные величины (F^н; q^н и др.). Возможные отклонения на­грузок в неблагоприятную (большую или меньшую) сторону от их нормативных значений вследствие изменчивости, нагрузок или отступле­ний от условий нормальной эксплуатации учитываются коэффициен­том перегрузки n, устанавливаемыми с учетом назначения зданий и сооружений, и условий их эксплуатации.

В расчетах по несущей способности принимают расчетные на­грузки, получаемые путем умножения их нормативных значений на коэффициенты перегрузки (F _p = F ^н n; q _p = q^нn).

Особенности действительной; работы конструкций, имеющие систематический характер, но не отражаемые в расчетах прямым путем, учитываются в необходимых случаях коэффициентами условий ра­боты m Коэффициент условий, работы учитывает влияние темпера­туры, влажности и агрессивности среды, длительности воздействия, ею многократной повторяемости и т. д.; приближенности расчетных схем и принятых, в расчете предпосылок; перераспределения силовых факторов и видов нагружения.

К задаче 4

Цель задачи — научить подбирать сечение элементов конструк­ции, работающей на осевое растяжение или сжатие

Условие задачи. Для стержней 1 и 2 фермы, рассмотренной в пер­вой задаче первой контрольной работы, подобрать сечение из равнополочной уголковой стали, принимая R _У= 210 МПа; γ_c = 0,9

Решение. Воспользуемся формулой, характеризующей работу кон­струкции при осевом растяжении (сжатии):

 

откуда определяем требуемую площадь

 

 

 

где N _p – расчетная сила, возникающая в рассматриваемом элементе.

 Для простоты расчетов примем заданную нагрузку за расчетную и силы, найденные в задаче 1 контрольной работы 1, также будут расчетными: N _{1 p} = = 16 кН = 0,016 МН, N _{2 p} = 19,8 кН = 0,0198 МН. Определение расчетных нагрузок рассмотрено в последующих задачах.

Определяем требуемую площадь сечения для стержня 1

 

 

Определяем требуемую площадь сечения для стержня 2

 

 

К задаче 5

Условие задачи. Для двухопорной балки (рис 20, а) подобрать сечение двутавра из условия прочности и жесткости. R _y = 210 МПа, R _ср = 130 МПа, n = 1,3; γ _с = 1,1. Модуль упругости    E = 2,1/10⁵ МПа. Предельно допустимый прогиб f _пред / l = 1/400.

По­строить эпюры нормаль­ных и касательных напря­жений для сечений с наи­большим изгибающим мо­ментом и с наибольшей по­перечной силой.

Решение.

1. Подбор сечения из условия прочности.

Расчетная нагрузка

 

 

Схема балки с расчет­ной нагрузкой изображена на рис. 20, б. Для рас­сматриваемой балки наи­больший изгибающий мо­мент в сечении посередине пролета Определяем его как сумму моментов от действия равномерно рас­пределенной и сосредото­ченной нагрузок, исполь­зуя готовые формулы.

 

 

 

Строим эпюру моментов по трем точкам:

 

 

Из условия прочности при изгибе

определяем W_тр — требуемый момент сопротивления поперечного сече­ния балки:

 

 

По таблице сортамента принимаем двутавр № 24 W _x = 289 см³ (см. приложение 3).

2. Подбор сечения из условия жесткости производим с помощью таблицы прогибов (см. приложение 6).

Второе предельное состояние конструкции характеризуется появле­нием чрезмерных прогибов и требует определенной жесткости, чтобы в условиях нормальной эксплуатации относительный прогиб f / l не пре­вышал предельно допустимого относительного прогиба f _пред / l, установ­ленного строительными нормами (СНиП) для различных конструкций и материалов.

Условие жесткости записывается в виде

 

 

Расчет на жесткость производят по нормативной нагрузке, а не по расчетной, т. е. без учета коэффициента перегрузки.

Из таблицы приложения 6 для данного загружения балки наи­больший по абсолютной величине прогиб определяется по формуле

 

В результате

 

 

Отсюда выражаем требуемый момент инерции сечения

 

 

Подставляя числовые значения, получим

 

 

Из таблицы сортамента подбираем двутавр № 36 I_x = 13,380 см⁴. Принятый из условия прочности двутавр № 24 имеет I_x = 3460 см⁴, что недостаточно по условию жесткости. Таким образом, в данном случае решающим условием при подборе сечения является условие жесткости. Окончательно принимаем двутавр № 36.

3. Определим наибольшие нормальные напряжения в сечении балки с максимальным изгибающим моментом. Из расчета M_max= 0,065 МН · м

 

 

так как для двутавра № 36 W _x = 743 см³ = 0,000743 м³ (см. приложе­ние 3).

Из теории известно, что наибольшие нормальные напряжения при поперечном изгибе возникают в крайних волокнах сечения. В нейтральном слое напряжение равно нулю. Строим эпюру нормальных напряжений. Для этого в произвольном масштабе изображаем сечение двутавра. Параллельно вертикальной оси двутавра проводим нулевую линию и откладываем от нее по разные стороны на уровне крайних волокон σ _max и σ _min. Соединяем эти точки прямой линией. Эпюра нормальных напряжений построена (рис. 20, б).

4. Построим эпюру поперечных сил. Для этого необходимо сначала определить опорные реакции. Для данной балки ввиду симметрии на­грузки опорные реакции равны между собой

 

 

Определяем поперечную силу.

 

Ход справа:

 

Q _B = - V _B = - 42,25 кН.

 

По найденным значениям строим эпюру Q _x (рис. 20, г).

5. Определяем наибольшие касательные напряжения. Для этого с эпюры поперечных сил выбираем сечение, где Q _max = 42,25 кН = 0,00423 МН.

Наибольшее касательное напряжение по высоте сечения возникает на уровне нейтральной оси и определяется по формуле Журавского:

 

 

S _x — статический момент полусечения, расположенного выше или ниже нейтральной оси; b = d — толщина стенки двутавра; I_x ; S _x , d берем из таблиц сортамента (см. приложение 3) для двутавра № 36:

 

S _x = 423 см³ = 423 · 10^-6 м³; I _x = 13 380 см⁴ = 13 380 · 10^-8 м⁴; b = d = 7,5 мм = 0,0075 m.

 

Подставив значения величин в формулу, получим

 

 

Строим эпюру касательных напряжений. От нулевой линии на уровне нейтральной оси откладываем τ _max (рис. 20, д). Зная характер эпюры, даем ее полное изображение.

Из условия прочности по касательным напряжениям

 

получаем

 

 

6. Большой запас прочности по касательным и нормальным напря­жениям:

 

 

можно объяснить тем, что сечение балки подбиралось исходя из условия жесткости.

 

Данные для задач по разделу Сопротивление материалов

 

 

Таблица 4

 

Схема на рис. 22	Вари-ант	F1	F2	A1	A2	A3	a1	a2	a3	a4
		кН		См2			см
I	01	120	70	16	12	8	60	40	80	70
	11	150	120	25	15	10	80	20	60	50
	21	200	150	20	16	10	70	50	100	80
	31	140	100	22	20	15	40	60	70	80
II	01	130	120	12	16	8	80	40	50	60
	10	150	120	15	25	10	60	20	40	80
	20	120	70	16	20	10	100	50	30	70
	30	220	100	20	22	15	70	60	20	40
III	02	70	120	16	8	12	10	40	70	80
	12	120	150	25	10	15	20	30	50	60
	23	150	200	20	10	16	15	50	80	100
	33	100	140	22	15	20	10	60	80	70
IV	03	10	70	5	8	12	70	80	10	40
	13	20	120	8	10	15	50	60	20	30
	22	25	150	12	15	20	80	100	15	50
	32	30	100	16	20	25	80	70	10	60
V	05	70	120	16	8	12	60	10	40	100
	15	120	250	25	10	15	80	20	30	90
	25	150	200	22	15	20	70	15	50	80
	35	100	140	30	20	25	40	10	60	70
VI	04	70	120	16	8	12	80	60	40	50
	14	120	150	25	10	15	60	80	20	40
	24	150	200	22	15	20	100	70	50	30
	34	100	140	30	20	25	70	40	60	20
VII	07	120	70	8	16	12	100	40	50	60
	17	150	120	10	22	15	90	20	40	80
	27	200	150	15	25	20	80	50	30	70
VIII	06	120	130	16	12	8	60	80	40	40
	16	150	120	22	15	8	50	60	30	30
	26	70	120	25	20	12	80	100	50	50
IX	09	90	240	16	12	10	1	60	80	70
	19	120	220	22	15	12	20	80	60	50
	29	50	180	25	20	15	15	70	100	80
X	08	100	230	8	12	10	80	50	40	50
	18	110	210	10	14	12	60	40	20	40
	28	60	180	12	16	14	100	30	50	30

 

Таблица 6

 

Схема на рис. 24	Вари-ант	q и, кН/м	F н, кН	М, кН·м	а	b	F пр		Схема на рис. 24	Вари-ант	q и, кН/м	F н, кН	М, кН·м	а	b	F пр
					м		l							м		l
I	00	8	-	15	1	4			II	01	8	-	12	4	2
	11	10	-	10	1	3				10	10	-	10	3,5	2
	21	12	-	8	1,5	3,5				20	12	-	8	4,5	1,5
	31	15	-	5	0,5	4				30	15	-	5	4	1,5
III	02	-	30	5	1	3			IV	03	10	-	-	1	4
	12	-	25	5	1	4				13	12	-	-	1	3
	23	-	40	2	1,5	3,5				22	16	-	-	1,5	3,5
	33	-	50	2	0,8	4				32	8	-	-	1	4
V	05	-	30	12	2	3			VI	04	30	-	5	6	-
	15	-	40	10	1,5	3				14	40	-	8	5	-
	25	-	35	8	1	4				24	50	-	10	5,5	-
	35	-	25	5	1	3				34	60	-	12	4,5	-
VII	07	-	45	20	3	-			VIII	06	8	100	-	4	2
	17	-	30	30	2,5	-				16	10	80	-	3,5	2
	27	-	20	40	2	-				26	12	70	-	3	2
IX	09	-	30	100	3	-			X	08	10	70	-	4	2
	19	-	50	80	2,5	-				18	12	45	-	3,5	2
	29	-	60	50	2	-				28	8	60	-	3	2