Плоское тело с каналом.
Рассмотрим плоское тело, свободно двигающееся по гладкой плоскости. Внутри тела вырезан тонкий канал . Пусть в плоскости задана абсолютная система координат и в точке установлен “столбик”. В начальный момент тело расположено так, что этот столбик попадает в канал . На движение тела наложена односторонняя связь, состоящая в том, что “столбик” располагается в канале . Толщину “столбика” и ширину канала считаем нулевыми. Дадим формальное описание этой системы. Свяжем с телом систему координат , начало которой совпадает с центром тяжести тела. Будем считать, что канал в теле это гладкая кривая, которая задается параметрически , , (9.1) где – натуральный параметр, длина вдоль кривой . Сама кривая имеет длину . Положение тела можно было бы описывать тройкой координат , где – координаты центра масс тела в абсолютной системе, а – угол наклона оси связанной системы координат по отношению к оси абсолютной системы. Однако, мы будем использовать тройку , где – координаты начала абсолютной системы координат в связанной системе. Переход от связанной системы координат к абсолютной производится поворотом на угол относительно и сдвигом на вектор . Поэтому первая и вторая тройки координат связаны соотношениями (9.2) а их скорости Обозначим – центральный момент инерции тела, а его массу , для краткости записи, будем считать равной единице . По теореме Кенига кинетическая энергия тела выражается соотношением (9.3) или, в координатах , Подставив сюда (9.1) получим лагранжиан системы где , , . И использовано то, что – это натуральный параметр и, поэтому, . На систему наложено две односторонних связи: , и (9.4) Координата является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл имеет вид Получаем редуцированную систему с функцией Рауса : ограничениями (9.4). Это система с одной степенью свободы. Она интегрируется в квадратурах.
Рассмотрим случай абсолютно упругого удара. Для краткости введем обозначение , Система допускает интеграл энергии . Положение является положением равновесия, если , и реакция связи направлена внутрь допустимой области. Несложно убедиться, последнее условие эквивалентно следующему . Следуя [15], заключаем, что, если последнее неравенство – строгое, то положение равновесия устойчиво. В этом нетрудно убедится прямо. В самом деле, если , то при увеличении от нуля величина будет уменьшаться, а потенциальная энергия будет увеличиваться. После удара о связь скорость будет равна В обозначениях предыдущего раздела , , поэтому период малых колебаний равен Все значения берутся при .
Благодарности. Авторы весьма признательны А.П. Иванову, В.В. Козлову, и Д.В. Трещеву за советы и полезные обсуждения данной работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Панагитопулос П.Д. Неравенства в механике. М., Мир, 1986. 2. Козлов В.В., Трещев Д.В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М., МГУ, 1991. 3. Brogliato B. Nonsmooth Impact Mechanics. Springer-Verlag London Limited, 1996. 4. Иванов А.П. Динамика систем с механическими соударениями. М., “Международная программа образования”, 1997. 5. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. М., МГУ, 1997. 6. Schmaedeke W.W. Optimal control theory for nonlinear vector differential equations containing measures. SIAM J. Control, 1965, ser. A, vol. 3, N 2, pp. 231 – 280. 7. Buttazzo G., Percivale D. On the approximation of the elastic bounce problem on Riemanian manifolds. Journal of Differential equations, 1983, 47, 227-275. 8. Козлов В.В. Принципы динамики и сервосвязи. Вестник МГУ, сер. 1, математика, механика. 1989, N 5, с. 59-66. 9. Алексеев В.М. ,Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979. 10. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Принцип Даламбера-Лагранжа в механических системах с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002, N 14 . 11. Березинская С.Н., Кугушев Е.И. Об уравнениях движения механических систем с условными односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 16. 12. Сорокина О.В., Кугушев Е.И. Закономерности движения механических систем с односторонними связями. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2002 N 15. 13. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М., МГУ, 2000. [14] Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М., МГУ, 1970. 14. Иванов А.П. Об устойчивости в системах с неудерживающими связями. ПММ, 1984, т. 48, вып. 5, с. 725-732.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (160)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |