Система с условными связями.

Рассмотрим пример механической системы с условными связями. Пусть по гладкой плоскости скользит однородный диск единичной массы и радиуса . Введем на плоскости декартову систему координат . Положение диска можно описать тремя параметрами , где  – координаты центра диска, а  – угол его поворота. Движение диска ограничено полуплоскостью . При выходе на границу, т.е. на прямую , обод диска касается прямой . Предположим, что контакт диска с этой прямой является абсолютно шероховатым. Это означает, что, как бы ни были слабы силы, прижимающие диск к граничной прямой, диск катается по ней без проскальзывания. Такое свойство можно записать в виде двух условий:

и

, при

Обозначим  – центральный момент инерции диска. Для использования теоремы Рауса, перейдем к координатам , где . Тогда связи и лагранжиан системы приобретут следующий вид:   

, и , при условии, что , 

и

Координата  является циклической и отделяющейся. Циклический интеграл имеет вид

Исключив методом Рауса циклическую переменную получим систему с теми же связями и Лагранжианом

Уравнения движения

,

после нормировки меры  станут следующими:

,

Меры  и  сосредоточены в точках выхода на ограничения.

Рассмотрим абсолютно упругий однократный удар, т.е. удар, при котором сохраняется энергия системы. Символами  и  будем обозначать значения величин до и после удара соответственно. Поскольку у системы две степени свободы и две неудерживающих связи, то скорости после удара  и  восстанавливаются неоднозначно. Если обозначить  – энергию системы, то

Видно, что здесь в принципе возможно даже возникновение ситуации, описанной в [2], при которой диск будет отскакивать в сторону противоположную первоначальному горизонтальному движению.

Для однозначности решения требуется какая-либо модель удара, из которой можно получить дополнительные условия. Одна из возможностей – это задание степени “шероховатости” прямой, о которую ударяется диск. Скорость  характеризует величину отклонения значений  и  от таких, при которых диск катится по горизонтальной прямой без проскальзывания (т.е. от ). Для абсолютно гладкого случая положим , а для абсолютно шероховатого . В линейном приближении этот закон можно задать следующим образом:

где ,  – степень шероховатости. Тогда 

Заметим в заключение, что в данной системе ситуация принципиально не меняется если наложить какое-либо вертикальное силовое поле с потенциалом .

Односторонний конек.

    Рассмотрим теперь пример системы с неголономными односторонними связями. По гладкой плоскости опять движется диск радиуса . Он снабжен “односторонним коньком”, который накладывает на движение диска одностороннюю неголономную связь

Лагранжиан этой системы имеет вид

Координата  здесь циклическая но не отделяющаяся. Уравнения движения имеют вид

, ,

В моменты, когда , могут происходить удары о неголономную связь. Посмотрим, как изменятся скорости после удара. Удар считаем абсолютно упругим. Из уравнений движения получаем условия скачка

,

Величину  находим из равенства энергий до и после удара

откуда . Значит, составляющая функции скачков в  отсутствует и , где  – измеримая функция. Уравнения движения приобретают вид

, , .

Таким образом, в данной системе удары отсутствуют. Движение системы описывается следующим образом. Диск все время вращается с постоянной угловой скоростью. Центр диска движется по прямой до тех пор, пока конек не повернется в положение, направленное по скорости движения центра. Затем движение по касательной перейдет к обычной круговой траектории диска с двухсторонним коньком. Сойти с этой окружности траектория не сможет, т.к., безударный сход должен происходить по касательной к окружности, но из-за связи сход возможен только внутрь окружности.