Удар в неголономной системе.

    Если на диске установлен обычный двусторонний конек,

и наложена односторонняя связь . То такими же простыми рассуждениями получаем, что при однократном ударе скорость центра диска меняется на противоположную.

Удар о неголономную связь.

Заметим, что движение будет иметь безударный характер и в общем случае, когда на систему наложены только неголономные односторонние связи

причем все компоненты вектора  неотрицательны: . Рассмотрим натуральную механическую систему

Уравнения Лагранжа 2-го рода дают

Мера  неотрицательна и сосредоточена в тех точках траектории, где  слева или справа. Допустим, что в момент  траектория вышла на ограничение и мера имеет скачок . Тогда все его компоненты неотрицательны:  и . Считаем, что при ударе полная энергия может рассеиваться. В точках скачка координаты и, значит, потенциальная энергия остаются непрерывными. Следовательно, в них может рассеиваться только кинетическая энергия:

Подставив сюда условие скачка , получим

Воспользовавшись условием выхода на границу связи

получаем

Поскольку все компоненты векторов  и  неотрицательны, то неотрицательно и первое слагаемое в неравенстве. Значит второе слагаемое неположительно. Однако, , как и  – положительно определенная матрица, поэтому второе слагаемое обращается в ноль, т.е.  и . Это означает, что скачки скорости отсутствуют, скорость является абсолютно непрерывной функцией.

Малые колебания.

Рассмотрим малые колебания в системе с одной степенью свободы. Пусть лагранжиан имеет вид

и на систему наложено одно ограничение . Обычной калибровкой приведем лагранжиан к виду

Если удары абсолютно упругие, то в системе сохраняется энергия: .Уравнения движения с мерами выглядят следующим образом.

                                          (9.1)

Причем мера  неотрицательна и сосредоточена в тех точка, где . Условия, при которых точка  является положением равновесия, получаются подстановкой в уравнения движения значений . Они выглядят так:

Поскольку мера  неотрицательна, то условием равновесия является . Если оно выполнено, то, взяв , мы удовлетворим уравнения движения для траектории . В соответствии с [4, 15], положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия  имеет минимум в точке , при ограничениях . Достаточным условием этого является выполнение неравенства . Таким образом, если , то точка  является устойчивым положением равновесия системы (9.1) при ограничении .

Заметим, что другим достаточным условием устойчивости является система     

,

В этом случае точка  является устойчивым положением равновесия системы без односторонних ограничений. Здесь мы не будем рассматривать этот случай.

    Найдем частоту малых колебаний в окрестности положения равновесия. Удар считаем абсолютно упругим. Линеаризовав лагранжиан, получим 

Линеаризованные уравнения движения приобретет вид

В линеаризованной системе также сохраняется энергия:

 ,

Движение в окрестности точки  представляет собой повторяющиеся одинаковые безударные параболические участки, разделенные ударом о связь . Будем считать, что очередной удар произошел в момент . Найдем момент следующего удара. После удара координата  увеличивается до того момента, когда скорость от значения

упадет до нуля. Длина этого отрезка времени составляет

Длина полного безударного участка составляет , и частота малых колебаний. Таким образом период малых колебаний системы падает вместе с энергией системы как ее квадратный корень.

                                           (9.2)