Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Возьмем за основу введенные в пункте 1.3. аксиомы евклидовой геометрии и сравним с ними аксиомы, вводимые А. В. Погореловым, обращая внимание на порядок их введения.

А. В. Погорелов начинает учебник со свойств принадлежности точек и прямых, аксиома 11 (хотя здесь А. В. Погорелов не называет это аксиомами, а называет свойствами принадлежности точек и прямых): какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. [24, с. 4]

Видно, что первая аксиома у А. В. Погорелова это аксиома 14 сформулированная для плоскости. Подобное начальное уточнение аксиом с пространства на плоскость связанно с тем, что учебник разделен на два раздела: планиметрию и стереометрию. В стереометрии А. В. Погорелов доопределяет введенные раньше аксиомы.

Аксиома 12: Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Эта аксиома эквивалентна аксиоме 11

Следующим шагом введения аксиом у А. В. Погорелова является введение основных свойств расположения точек на прямой и на плоскости.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Эта аксиома является аксиомой порядка 21 ;

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

Каждый отрезок имеет определенную длинны, большую нуля. Длинна отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой;

32 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 . Градусная мера угла, равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. [24]

Свойства откладывания отрезков и углов

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один;

. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180 , и только один;

. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полу прямой. [24 с 10].

Свойство параллельных прямых.

5  Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной [24 c 13].

Свойства 32 и 42 не являются аксиомами, это технические правила вводящие, способ измерения углов.

Аксиомы о построении углов и отрезков являются следствиями аксиом движения.

Аксиомы стереометрии

С1 Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей;

C2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;

C3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну [24 c 181].

Введя три аксиомы стереометрии, А. В. Погорелов предлагает уточнить аксиомы планиметрии для бесконечного числа плоскостей. При таком уточнении аксиомы принимают вид:

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

42. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей  , и только один.

каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не боле одной прямой, параллельной данной.[24 с 181]

После введения аксиом планиметрии, называя их основными свойствами, А. В. Погорелов проясняет понятия теоремы и доказательства. «Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предположение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой» [24, с. 13].

Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: «если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» [24 с 14]. Только после доказательства теоремы автор говорит, что «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений» [24 c 14].

В следующем абзаце вводятся «правила» аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет «при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» [24, с. 15].

К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.

А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.

А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.

После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.

Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. «Используемые понятия должны быть введены «недавно, рядом», лучше, если в этой же главе.

Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.

. Параграф 4 главы 1 «Планиметрия» называется «Сумма углов треугольника». Первое, что мы видим в этой главе «признаки параллельности прямых». У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: «Причем здесь признаки параллельности прямых?».

В поисках ответа на этот вопрос листаем дальше. Следующий пункт этой главы «Сумма углов треугольника». Вот и ответ.

Для доказательства теоремы о том, что сумма углов треугольника равна 180 , нужны знания о параллельных прямых и сумме внутренних накрест лежащих углов, которые вводятся в пункте «признаки параллельности прямых».

А. В. Погорелов решил проблему «недостающих знаний», введя их непосредственно перед необходимостью использовать.

Разобрав структуры с точки зрения аксиоматического подхода становиться заметной необходимость такого строения. Ученик не может восстановить замыслы автора, поэтому для него подобные вставки остаются безосновательными. На наш взгляд, такое построение учебника приводит к тому, что у ученика к концу школы складывается четкое непонимание геометрии.

. Такое же построение учебного материала отмечено и в параграфе 5 этой же 1 главы. Параграф называется «Геометрическое построение». В пунктах 26 -33 действительно производиться построение, а вот пункт 24 (опять же первый в параграфе) «Окружность» (приложение 1).

Какое отношение имеет понятие окружность к параграфу про построение? Самое прямое. Все построения, так или иначе, связаны с понятием окружности, а оно еще не было введено, следовательно, с точки зрения из аксиоматического подхода, пользоваться им нельзя. Конечно нельзя, но ввести то можно. Теперь, когда введено понятие окружности, объяснения построений становиться возможным.

. Параграф 7 «Теорема Пифагора». Первый пункт параграфа «Косинус угла» (приложение 1). Это понятие введено в связи с иго использованием в доказательстве теоремы Пифагора.

Через два пункта в этом же параграфе идет пункт «Как пользоваться таблицами синусов, косинусов и тангенсов», затем «Основные тригонометрические тождества», «Значение синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов», «Изменение при возрастании угла ». Можно было вынести в отдельную главу все тригонометрию, и лишь потом сделать главу «Теорема Пифагора», тогда бы не пришлось такой важный материал вводить как дополнение к другому.

Следующий подобный пример встречается уже в 10 параграфе «Векторы на плоскости». Первым пунктом этого параграфа является пункт «Параллельный перенос и его свойства» при чем здесь векторы не понятно. Листая дальше эту главу понятно, что без этого понятия невозможно ввести операции над векторами. Таким образом происходит искусственное доворачивание теории учебника, до аксиоматического метода. Искусственное потому, что вводимая теория не отвечает ни на какой вопрос, а наоборот делает так, что бы вопросов ни возникало.

. §12 «Многоугольники». Название подразумевает введение понятия многоугольника и операции с ним. На деле первые пункт параграфа «Ломаная», понятия которой нам понадобиться для введения понятия многоугольник.

Последние два пункта этого параграфа «Длина окружности» и «Центральный угол и дуга окружности». Студент еще может восстановить логику введения материала, а для школьника она остается скрытой и, как видно из студенческих работ, не принимаемой.

. Подобное введение теории встречается также в §16 «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в последний пункт «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Приведенные примеры иллюстрируют реализацию аксиоматического метода у А. В. Погорелова.