ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: если в правой части уравнения стоит ноль, то то уравнение называется однородным линейным. Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение. Характеристическимназывается квадратное уравнение, полученное на основе дифференциального уравнения, в котором заменяются новой переменной k, степень которой определяется порядком производной: ; Тогда - характеристическое уравнение. Находим корни характеристического уравнения: 1. Если корни характеристического уравнения действительные и равные , т.е. дескременант Д=0, то решением дифференциального уравнения будет являться функция: . (1) 2. Если корни характеристического уравнения действительные и равные числа , Д>0, то: . (2) 3. Если корни характеристического уравнения – комплексные числа при Д<0, т.е. , то . (3) Например: Найти общее решение дифференциального уравнения: 1. Составляем характеристическое уравнение: ; Находим его корни: ; k1=k2=k=1 Подставляем полученное значение к=1 равенство (1), получаем: . 2. Полученные значения к1 и к2 подставляем в равенство (2), получаем: 3. Полученные значения α и β подставляем в равенство (3), получаем: 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА Пусть у нас есть дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной: , Рассмотрим виды дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают понижение порядка: I. Дифференциальные уравнения не содержащие аргумента: (*) Вводим новую переменную Р:
подставляем это в (*) получаем: . Получили дифференциальные уравнения первого порядка и его решением будет функция: или Разделяем переменные, умножая обе части на : - Общее решение Пример: . Вводим замену: (1) Из равенства (1) получаем: (2) Тогда (3) Подставляем значения и из равенств (1) и (3) в заданное уравнение и получаем: . Получили уравнение первого порядка. Решаем методом разделения переменными Р и у. Уравнение решается относительно Р. . Сокращаем обе части на Р . Делим переменные, умножая обе части на получаем: . Интегрируем оба части: Потенцируем: (4) Подставляем полученное значение Р из равенства (4) в равенство (1), получаем: Вновь получили дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменных у и х. Делим переменные, умножая обе части равенства на , получаем: Интегрируем: . Потенцируем: Получаем общее решение дифференциального уравнения: II. Дифференциальные уравнения не содержащие искомой функции: (**) Тогда уравнение (**) примет вид: . Решением этого уравнения будет функция: - Общее решение Пример: Вводим замену: (1) Тогда (2) Подставляем значения и из равенств (1) и (2) в исходное уравнение и получаем: . Делим переменные, умножая обе части на получаем: . Интегрируем оба части равенства: Потенцируем: (3) Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1) и получаем: . Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем: - Общее решение III. Дифференциальные уравнения не содержащее искомой функции и её производной: (***) Подстановка: подставляем в (***)
- Общее решение Например: Найти общее решение дифференциального уравнения: Вводим подстановку: (1) Тогда (2) Подставляем значения из равенства (2) в исходное уравнение: . Делим переменные, умножая обе части равенства на получаем: . Решаем полученное уравнение, интегрируя обе части: и получаем; (3) Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1), получаем: . Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем: . Таким образом, - Общее решение Примечание. Решаем интеграл методом интегрирования по частям: ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (10159)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |