ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

если в правой части уравнения стоит ноль, то

то уравнение называется однородным линейным.

Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение. Характеристическимназывается квадратное уравнение, полученное на основе дифференциального уравнения, в котором заменяются новой переменной k, степень которой определяется порядком производной:

;

Тогда - характеристическое уравнение.

Находим корни характеристического уравнения:

1. Если корни характеристического уравнения действительные и равные , т.е. дескременант Д=0, то решением дифференциального уравнения будет являться функция:

. (1)

2. Если корни характеристического уравнения действительные и равные числа , Д>0, то:

. (2)

3. Если корни характеристического уравнения – комплексные числа при Д<0, т.е. , то

. (3)

Например: Найти общее решение дифференциального уравнения:

1.

Составляем характеристическое уравнение:

;

Находим его корни:

;

k₁=k₂=k=1

Подставляем полученное значение к=1 равенство (1), получаем:

.

2.

Полученные значения к₁ и к₂ подставляем в равенство (2), получаем:

3.

Полученные значения α и β подставляем в равенство (3), получаем:

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

Например: Найти общее решение дифференциального уравнения:

Вводим подстановку: (1)

Тогда (2)

Подставляем значения из равенства (2) в исходное уравнение:

.

Делим переменные, умножая обе части равенства на получаем:

.

Решаем полученное уравнение, интегрируя обе части:

и получаем;

(3)

Подставляем значение Р из равенства (3) в равенство (1), получаем:

.

Делим переменные, умножая обе части равенства на , и интегрируем:

.

Таким образом,

- Общее решение

Примечание. Решаем интеграл методом интегрирования по частям:

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ