Оценка значимости и адекватности множественной регрессии

Как и в случае парной регрессии оценить значимость множественной регрессионной модели - значит подтвердить или опровергнуть суждение о том, что эта модель соответствует наблюденным данным.

Для решения задачи также используется дисперсионный анализ, согласно которому для сумм квадратов отклонений справедливо равенство: Q = Q_R + Q_e.

Для этих сумм квадратов нетрудно записать матричные выражения:

Q = å (yi - )2 = å yi2-(å yi)2/n = Y ' Y - n 2,	(3.19)
Qe = å (yi - )2 = Y'Y – b' X 'Y,	(3.20)
QR = Q - Qe = b'X'Y - n 2.	(3.21)

Гипотеза Н_о о равенстве нулю всех параметров модели (b₁=b₂= ... = b_р = 0) отвергается, если фактическое значение статистики Фишера-Снедекора больше ее табличного значения:

F = > Fa, p, n-p-1.

(3.22)

Ранее в выражении (2.36) для оценки адекватности, прогностической силы парной регрессионной модели вводился коэффициент детерминации:

R² = Q_R / Q = 1 - Q_e / Q .

Для множественной регрессии коэффициент R² может быть рассчитан по формулам:

R2 = QR / Q =	(3.23)
или
R2 = 1 - Qe / Q =	(3.24)
или
R2 =	(3.25)

где e = Y - Xb, = ( , , ... ), y =(Y - ) - n -мерные векторы

e'e = å ei2 = å (yi - )2

y'y = å (yi - )2.

Несмотря на достоинства коэффициента детерминации R², судить только по нему о качестве - адекватности - модели некорректно. Дело в том, что R² растет с увеличением числа объясняющих переменных, включаемых в модель, что не всегда верно. Поэтому применяют скорректированный (адаптированный) коэффициент детерминации :

= .

(3.26)

или

= .

(3.27)

Как видно, чем больше объясняющих переменных р, тем меньше в сравнении с R² при прочих равных условиях. Таким образом, в модель должны включаться только те объясняющие переменные, которые действительно информативны и существенно влияют на объясняемую переменную Y.

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите произвольный числовой пример линейной модели множественной регрессии для р=2 и n=5.

2. Какая модель называется классической нормальной ЛММР?

3. В чем смысл оптимальности b из уравнения (3.4)?

4. Является ли оценка b по МНК в множественной регрессии эффективной?

5. Что показывает стандартизованный коэффициент регрессии b_j’?

6. Что показывает средний коэффициент эластичности ?

7. Сколько элементов содержит ковариационная матрица для СВ (Х, Y)?

8. Что означает å_b в выражении (3.10), приведите произвольный числовой пример такой матрицы.

9. На произвольном числовом примере раскройте смысл математических объектов: s², e, e’, p, e_i.

10. В чем состоит гипотеза Н_о при оценке значимости уравнения множественной регрессии?

11. В чем преимущество скорректированного коэффициента детерминации перед обычным коэффициентом?

4. Практические вопросы построения регрессионных моделей