Тема 10. Теория дедуктивных рассуждений
Изучив материалы темы, Вы сможете: - уяснить смысл и значение теории дедуктивных рассуждений; - понять, что такое система натурального вывода; - объяснить разницу между системой естественного вывода логики высказываний и системой естественного вывода логики предикатов; - дать определение кратной импликации; - знать правила логического следования, правила построения прямого доказательства, правила построения косвенного доказательства и кванторные правила вывода;
Исследование рассуждений, их видов и способов осуществления входит в число основных задач логики. В общем случае под рассуждением понимают процедуру последовательного пошагового перехода от одних высказываний, принятых в качестве исходных, к другим высказываниям. Каждый шаг этого процесса осуществляется на основе некоторого правила, называемого правилом вывода. Последнее высказывание, полученное в данном процессе, называется заключением рассуждения. Дедуктивными являются лишь те рассуждения, в которых между высказываниями, принятыми в качестве исходных, и заключением сохраняется отношение логического следования. Теория дедуктивных рассуждений отвечает на вопрос, как строятся рассуждения дедуктивного типа. Процедуры дедукции, как теоретического метода исследования имеют большое значение при построении научного знания. В зависимости от степени прояснённости дедуктивных связей между отдельными утверждениями теорий различают несколько их типов. К первому типу относятся содержательные теории. В их составе дедукция если и используется, то лишь для связи некоторых отдельных положений теории. При этом исходные утверждения в рассуждениях представляют собой некоторые допущения, называемые посылками. Посылки не обязаны быть истинными, а потому любое предложение, которое дедуцируется с их использованием, считается не истинным, а условно истинным: заключительное предложение истинно при условии, что посылки являются истинными. Примерами логических содержательных теорий являются логики высказываний и предикатов. Другой тип составляют формализованные теории. К их числу относятся теории, содержание которых взаимосвязано и дедуктивно выводится из некоторых первоначально принятых исходных утверждений. Последние называются аксиомами, а сами теории носят название аксиоматизированных теорий. Так как аксиомы представляют собой истинные высказывания о некоторой предметной области, все другие положения, дедуцируемые из них, тоже считаются истинными. Кроме формализованных теорий, можно выделить формальные теории. В отличие от формализованных теорий, в которых специально не выделяются средства дедукции, и в силу этого многие дедуктивные шаги осуществляются на интуитивном уровне, в формальных теориях структурируется не только само знание, но и способы его получения. К формальным теориям относятся исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка. Задача этих логических теорий – описание обычных процедур рассуждения, используемых в теоретической деятельности людей. Причём рассуждения, которые строятся в данных исчислениях, будут формальными рассуждениями, состоящими в выведении одних формул из других формул. Каждое такое формальное рассуждение можно трактовать как модель различных содержательных рассуждений, имеющих ту же самую логическую структуру. Исчисление высказываний и исчисление предикатов первого порядка являются разновидностями натурального вывода. Система натурального вывода – система классической логики, которая не содержит аксиом и основывается только на правилах вывода. Когда в обычных рассуждениях мы выводим следствия из посылок, подыскиваем посылки (гипотезы), из которых может быть выведено некоторое предложение, находим доказательства или опровержения и т. п., то во всех этих случаях наши рассуждения развёртываются в соответствии с правилами логического следования. Как формы выражения логических законов, тождественно-истинные формулы, или логические тождества, используются для обоснования правил логического следования. С точки зрения самой процедуры их обоснования особое значение имеет способ представления формул в виде так называемых кратных импликаций. Кратной импликацией называется формула вида …( ) …) (*) Формула (*) читается так: если , то С. Члены кратной импликации, обозначенные в (*) посредством называются антецедентами, а член С – консеквентом. При n=1 имеем схему однократной (обычной) импликации ; при n=2 – схему двукратной импликации ; при n=3 – схему трехкратной импликации и т.д. При n=0 считаем, что формула построенная по схеме (*) кратной импликации, совпадает с формулой С. В этом случае мы имеем дела с так называемой нулькратной, или, как ещё говорят «вырожденной» импликацией. Таким образом, нулькратная импликация содержит консеквент и не содержит антецедентов. Любую формулу независимо от того, содержит она знак импликации в качестве главного логического знака или нет, можно рассматривать как кратную импликацию. Важно уметь анализировать формулу с помощью схемы кратной импликации. Этот анализ может иметь различную глубину, в зависимости от того, какие части анализируемой формулы рассматриваются в качестве антецедентов и консеквента С в схеме кратной импликации. Так, формулу ((p→q)&(q→r))→(p→r) Можно рассматривать в качестве однократной импликации, т.е. как построенную по схеме в этом случае мы в качестве берём формулу ((p→q)&(q→r)), а в качестве С (p→r). Но если в качестве взять ((p→q)&(q→r)), в качестве p и в качестве С r, то формула ((p→q)&(q→r))→(p→r) рассматривается теперь уже как двукратная импликация, т.е. как формула вида . Для данной формулы неосуществим более тонкий анализ по схеме кратной импликации. Но возможен ещё более грубый анализ, если всю анализируемую формулу рассматривать в качестве С, т.е. в качестве нулькратной импликации, не учитывая того, что она содержит знак импликации в качестве главного логического знака. Между тем формулу pv(q&(~p→r)) можно рассматривать только в качестве нулькратной импликации. При анализе формулы по схеме кратной импликации следует обращать внимание на расположение скобок. Так, каждая из приводимых ниже формул ((p→r)→p)→r, (p→q)→(p→q) может быть представлена в виде , но только вторая – в виде . Таким образом, проанализировать формулу Fпо схеме кратной импликации значит, для данной формулы подобрать схему …( ) …) с некоторым подходящим значением n и каждому , Споставить в соответствие подформулы формулы F так, что заменяя , С сопоставленными им подформулами, мы снова получаем анализируемую формулу. Анализ формулы F по схеме кратной импликации мы назовём предельным, если букве С в этой схеме ставится в соответствие подформула формулы F, не содержащая знака → в качестве главного логического знака. В силу естественно сложившихся методов рассуждения при осуществлении процедуры обычного (неформального доказательства), особенно в математике и других точных науках, доказываемые предложения, или тезисы доказательства, приводят как правило, к форме условного предложения. Их называют теоремами. В теореме различают условие (или допущения) – часть, стоящую после слова «если» и перед словом «то», и заключение – часть стоящую после слова «то». Как явствует из способа чтения кратной импликации, формула такого вида является аналогом условного предложения; причём её антецеденты отвечают пунктам условия, а консеквент – заключению данного предложения. В свою очередь выше описанный анализ формулы по схеме кратной импликации служит аналогом процедуры выявления в доказываемом предложении условий и заключения. С помощью табличного метода легко убедиться, что кратная импликация истинна во всех случаях, кроме того, когда каждый из её антецедентов истинен, а консеквент ложен. Кратная импликация тождественно-истинна тогда и только тогда, когда во всех строках её таблицы, где каждому антецеденту приписывается логическое значение «истинно», консеквенту приписывается то же значение. Тождественно-истинная кратная импликация определяет некоторое правило логически корректного перехода, иначе говоря, правило логического следования, от посылок, имеющих структуру её антецедентов, к заключению, имеющему структуру её консеквента. Логические рассуждения способствуют применению критерия практики для проверки гипотез посредством проверки выводимых из них следствий и дальнейшему превращению гипотез в теории. Правила следования играют также известную роль в подыскании гипотез и в процессах научного объяснения, поскольку возможно «применение» дедуктивных правил в обратном порядке – от заключения к посылкам. В логике правила следования записываются в виде фигур рассуждения
С которые читаются так: из следует С. Члены называются посылками, а член С называется заключением данной фигуры. Не всякая фигура такого вида является правилом следования. Определение правила логического следования. Фигура
С называется корректной фигурой, или правилом следования, если формула вида …( ) …) есть логическое тождество. Таким образом, для проверки корректности некоторой фигуры рассуждения, нужно образовать кратную импликацию, сделав посылки фигуры антецедентами, а заключение фигуры – консеквентом этой импликации, и выяснить, является ли полученная этим путём формула тождественно-истинной. Применяя правила следования, мы можем из исходных формул, называемых посылками, или допущениями, получать новые формулы, логически следующие из исходных, путём построения последовательностей формул, в которых каждая формула или является посылкой, или же следует из предшествующих формул по одному из правил следования. Такого рода последовательности формул называются формальными выводами. Они служат в логике моделями, на которых изучаются закономерности обычных логических рассуждений. Пример. Приводимая ниже последовательность формул 1. p→(q→r) – посылка; 2. p&q – посылка; 3. p – УК (2); 4. q→r – МП (1,3); 5. q – УК (2); 6. r – МП (4,5) есть вывод из исходных формул (посылок) 1-2 формулы 6 (заключения данного вывода), при построении которого используются правила УК и МП. Для того чтобы придать точный смысл описательной характеристики логической структуры обычных рассуждений была создана логическая система, получившая название система естественного вывода или натуральное исчисление. В рамках данного исчисления можно строить формальные доказательства, структура которых возможно точно передаёт логическое строение обычных рассуждений. Опишем систему естественного вывода, которую обозначим буквой N. Основные правила системы N содержат: Правила логического следования: A A→B – модус поненс (МП); B A B –введение конъюнкции (ВК); A&B A&B –удаление конъюнкции (УК); A A&B – удаление конъюнкции (УК); B A – введение дизъюнкции (ВД); AvB B – введение дизъюнкции (ВД); AvB AvB A→C B→C– удаление дизъюнкции. C Правила построения прямого доказательства: Прямое доказательство формулы (кратной импликации) вида …( ) …) строится согласно следующей процедуре. На любом шаге построения можно написать: 1) одну из формул в качестве допущения; 2) формулу, следующую из ранее написанных формул по одному из правил логического следования; 3) ранее доказанную формулу. Прямое доказательство данной формулы считается построенным, если в соответствии с пп. 1)-3) получена последовательность формул оканчивающаяся формулой С. Пример. Ниже построено доказательство формулы (p→q)→((p&r)→(q&r)) Доказательство. 1. p→q – допущение; 2. p&r – допущение; 3. p – УК (2); 4. r – УК (2); 5. q – МП (1,3); q&r – ВК (4,5). Непронумерованная последняя строка означает, что доказательство закончено. Ещё один пример. Надо доказать формулу q→q Доказательство. q – допущение. Введя в качестве допущения формулу, совпадающую с антецедентом доказываемой импликации, мы сразу же заканчиваем доказательство, потому что консеквент доказываемой импликации совпадает с её антецедентом, а, прямое доказательство заканчивается получением последовательности формул, оканчивающейся формулой, совпадающей с консеквентом доказываемой формулы. Эту формулу мы можем использовать в процессе доказательства других формул. Например. Следует доказать формулу (pvq)→((p→q)→q) Доказательство. 1. pvq – допущение; 2. p→q – допущение; 3. q→q – ранее доказанная формула (р.д.ф.); q – УД (1, 2, 3). Для формулировки ещё одного правила построения доказательства потребуется следующее понятие. Назовём две формулы противоречащими, если одна из них может быть получена из другой приписыванием слева знака ~.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1020)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |