Тема 7. Эмпирическое и дедуктивное доказательства

Изучив материалы темы, Вы сможете:

- уяснить сходство между логическим выводом, доказательством и рассуждениями в естественном языке;

- понять суть взаимодействия между интуицией и логикой;

- указать особенности интуиционистской логики;

- показать слабые и сильные стороны «интуитивной» логики.

Процессы логического вывода и доказательства имеют много общего с рассуждениями в естественном языке, где также выводят одни высказывания из других, но, правда, при этом явно не указывают логические правила вывода, которыми пользуются, предполагая их известными. Именно это обстоятельство заставило логиков строить исчисления, напоминающие выводы в естественном языке. Нередко поэтому их называют натуральными выводами. Из этих исчислений наиболее известным и признанным считается система натурального вывода, построенная Г. Генценом, появившаяся в 1934 г.

Наряду с логикой существуют внелогические элементы мышления. Одним из таких элементов является интуиция. Интуиция – способность непосредственно, как бы «внезапно», не прибегая к опосредованному умозаключению, находить, открывать истину; внутреннее «озарение», просветление мысли, раскрывающее суть изучаемого вопроса, процесс дальнейшего хода развития исследуемого предмета, явления.

Интуиция как "прямое видение истины" не является чем-то сверхразумным. Она не идет в обход чувств и мышления и не составляет особого рода познания. Ее своеобразие состоит в том, что отдельные звенья процесса мышления проносятся более или менее бессознательно и запечатлевается только итог мысли – внезапно открывшаяся истина.

Существует давняя традиция противопоставлять интуицию логике. Нередко интуиция ставится выше логики даже в математике, где роль строгих доказательств особенно велика. Так, например, Декарт ставит интуицию выше дедукции. Дедукция – это, согласно Декарту, логическое рассуждение, опирающееся на аксиомы (вполне достоверные исходные положения), но достоверность аксиом усматривается разумом интуитивно.

Неумеренное возвеличение интуиции в ущерб строгому доказательству неоправданно. Логика и интуиция не исключают и не подменяют друг друга. В реальном процессе познания они, как правило, тесно переплетаются, поддерживая и дополняя друг друга. Доказательство санкционирует и узаконивает достижения интуиции, оно сводит к минимуму риск противоречия и субъективности, которыми всегда чревато интуитивное озарение. Только проведенное шаг за шагом логическое доказательство делает завоевания интуиции объективно установленным результатом.

Уточняя и закрепляя результаты интуиции, логика сама обращается к ней в поисках поддержки и помощи. Логические принципы не являются чем-то заданным раз и навсегда. Они формируются в многовековой практике познания и преобразования мира и представляют собой очищение и систематизацию стихийно складывающихся "мыслительных привычек". Вырастая из аморфной и изменчивой пралогической интуиции, из непосредственного, хотя и неясного "видения логического", эти принципы всегда остаются связанными с изначальным интуитивным "чувством логического". Не случайно строгое доказательство ничего не значит даже для математика, если результат остается непонятным ему интуитивно.

Логика и интуиция не должны противопоставляться друг другу, каждая из них необходима на своем месте. Внезапное интуитивное озарение способно открыть истины, вряд ли доступные последовательному и строгому логическому рассуждению. Однако ссылка на интуицию не может служить твердым и тем более последним основанием для принятия каких-то утверждений. Интуиция приводит к интересным новым идеям, но она нередко порождает также ошибки, вводит в заблуждение. Интуитивные догадки субъективны и неустойчивы, они нуждаются в логическом обосновании. Чтобы убедить в интуитивно схваченной истине, как других, так и самого себя, требуется развернутое рассуждение, доказательство.

В современной логике существует направление, для которого интуиция является основным понятием и принципом – интуиционистская логика. Интуиционизм – одно из направлений в математике, которое в интуиции видит основание математики и формальной логики. Интуиционистская логика была систематизирована Л. Брауэром и представлена в виде исчисления А. Гейтингом. Предшественником интуиционистской школы является французский математик А. Пуанкаре.

Логику интуиционисты рассматривают как часть математики. Они отрицают понятие актуальной, завершённой бесконечности, а принимают понятие потенциальной, становящейся бесконечности. В связи с этим положением, они отрицают применимость принципа исключённого третьего в операциях с бесконечными множествами. Ход рассуждения интуиционистов при этом таков: допустим, что какому-то элементу бесконечного множества присуще свойство А; доказать, что истинно суждение «Всем элементам этого множества присуще свойство А» или истинно суждение «Ни одному элементу этого множества не присуще свойство А» невозможно, так как ряд этих элементов потенциально бесконечен, поэтому проверить все альтернативы в принципе не представляется возможным.

В интуиционистской логике не принимается закон снятия двойного отрицания, то есть отрицается действие закона: ~~А→А. Но в интуиционистской логике проходит правило навешивания двойного отрицания, то есть правило, согласно которому можно от формулы А переходить к формуле ~~А (но не обратно).

В интуиционистской логике не отрицается применимость закона исключённого третьего для конечных множеств. Законы тождества и противоречия признаются интуиционистами в неограниченном смысле.

Контрольные вопросы:

1. Почему логические исчисления напоминают выводы в естественном языке?

2. Что такое интуиция?

3. Какую роль играет интуиция в доказательстве?

4. Кто является основателем интуиционистской логики?

5. Какие особенности интуиционистской логики определяют её принадлежность неклассической логике?