Метод эффективной массы

Электрон в кристалле движется под действием внешней силы , например, силы приложенного к кристаллу электрического поля, и сил поля кристаллической решетки . Ускорение электрона будет равно

, (2.3.1)

так как неизвестно, то выражение для ускорения записывают, используя эффективную массу электрона

(2.3.2)

Аналогичное выражение можно записать для дырки

(2.3.3)

И при классическом рассмотрении, как сделано выше, и при квантовом можно использовать уравнения для свободной частицы, заменяя для электронов и дырок в кристалле массу свободной частицы m₀ на эффективную массу или . Так, например, уравнение Шредингера для электрона в кристалле будет иметь вид

, ( 2.3.4)

где V(r) – потенциальная энергия электрона во внешнем поле. В выражение (2.3.4) не входит неизвестная потенциальная энергия решетки. Подобный метод решения получил название метода эффективной массы.

Наиболее распространенным методом измерения эффективных масс носителей заряда является метод циклотронного резонанса. Рассмотрим сущность этого метода. Пусть полупроводник находится в магнитном поле с индукцией . На носитель заряда, движущийся со скоростью , со стороны магнитного поля действует сила (сила Лоренца)

. (2.3.5)

Здесь знак « + » соответствует дырке, а « - » - электрону. Под действием этой силы носитель заряда будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Приравняем модуль силы Лоренца к произведению эффективной массы m^* носителя на центростремительное ускорение:

, (2.3.6)

где R - радиус вращения носителя.

Из (1.12) найдем круговую частоту вращения носителя, которую называют циклотронной частотой

. (2.3.7)

Отсюда следует, что циклотронная частота не зависит от скорости и радиуса окружности, по которой вращается носитель.

Если теперь в полупроводнике создать слабое переменное электрическое поле, колеблющееся в плоскости, перпендикулярной , то при приближении частоты изменения поля к циклотронной частоте носитель будет сильно поглощать энергию электромагнитного поля. Это явление резонансного поглощения принято называть циклотронным резонансом.

Определим, к какому диапазону электромагнитных волн относится переменное электромагнитное поле с частотой w_c. Для оценки возьмем B = 0,1 Тл, m = m^* = 9,11×10^{-31 кг.} Тогда получим: .

Длина электромагнитной волны будет равна

, (2.3.8)

где c - скорость света.

Оценка дает значения l порядка нескольких сантиметров. Это соответствует радиоволнам сантиметрового диапазона (СВЧ излучение). Плавное изменение частоты излучения в сантиметровом диапазоне представляет весьма сложную задачу. Поэтому при проведении эксперимента обычно частоту излучения задают постоянной, а изменяют величину магнитной индукции B. При этом, когда величина B достигает значения B_рез , при котором w = w_c, наблюдается пик поглощения. Если в материале имеется несколько "сортов" носителей, то наблюдается несколько пиков. По положению пика определяют B_рез, значение w известно. Тогда эффективную массу находят следующим образом:

. (2.3.9)

Осуществить эксперимент для определения m^* удается лишь в том случае, если время свободного пробега носителя t достаточно велико, чтобы носитель за время t успевал сделать хотя бы один оборот

. (2.3.10)

Чем больше носитель сделает оборотов за время t, тем резче, острее проявляется резонанс.

Время свободного пробега носителя тем больше, чем меньше в кристалле структурных несовершенств. Поэтому эксперимент проводят при низких температурах и на чистых совершенных кристаллах.

Металлы