Векторы на плоскости и в пространстве
Лекция 3. Векторы. Системы линейных уравнений. Векторы Цельизучения темы состоит в обобщении понятия вектора, с которым студенты знакомы по школьной программе и расширение ее систематического кругозора.
Векторы на плоскости и в пространстве. Вектор– это направленный отрезок . Точка А – начало вектора, точка В – конец вектора (рис. 3.1.1). Можно использовать обозначение . Длиной (модулем) вектора называется число, равное длине вектора. Обозначается модуль вектора символом или . Если модуль вектора , вектор называется нулевым; направление нулевого вектора произвольно. Два вектора называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой (или лежат на одной прямой), в этом случае пишут . Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Два вектора равны, то есть , если выполняется три условия: ; и и одинаково направлены. Произведением вектора ā на число (скаляр) λ называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям: , векторы и сонаправлены, если и направлены в противоположные стороны, если . Если , вектор называется противоположным вектору . Таким образом, условие является достаточным для коллинеарности вектором и ; Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (правило треугольника) (см. рис. 3.1.2). Так как вектор , то для получения суммы двухвекторов можно использовать правило параллелограмма: суммой двух векторов является вектор-диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , выходящий их общего начала обоих векторов-слагаемых. Сумма нескольких векторов находится по правилу многоугольника: чтобы найти сумму нескольких векторов ,нужно последовательно совместить начало следующего вектора-слагаемого с концом предыдущего; тогда вектор, проведенный из начала первого вектора в конец последнего называется суммой всех данных векторов (рис. 3.1.3). Разностьюдвух векторов называется сумма . Если вектор , то по аналогии с суммой двух векторов этот вектор является диагональю параллелепипеда, построенного на трех векторах как на сторонах (рис. 3.1.4). Рассмотрим вектор в плоскости. Перенесем в начало координат системы хОу. Получим вектор . Координатами вектора называются координаты точки М(х;у). Введем на осях координат векторы i и j – единичной длины (рис. 3.1.5). Очевидно, или или . Если вектор рассматривается в трехмерном пространстве, где точка М характеризуется тремя координатами, то есть M(x,y,z), то вектор можно представить в виде: xi yj zk, (3.1.1) где i, j, k – единичные векторы, лежащие на осях координат. Пусть , . Найдем сумму и разность этих векторов: (3.1.2) или Сложение векторов и умножение вектора на скаляр подчиняется следующим свойствам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Доказательства вытекают на основании (3.1.2). Определение. Скалярным произведением векторов и называется число равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть . (3.1.3)
Из (3.1.3) вытекают свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) если , то . Используя свойства скалярного произведения, можно найти скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Если , , то ; если - условие перпендикулярности векторов. Если векторы коллинеарны, то есть , то - условие коллинеарности векторов.
Понятие n-мерного вектора. Векторное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов. Понятие вектора можно обобщить. Определение. n-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х1, х2,…, хn), хi – компоненты вектора Х.
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике. Например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором , а соответствующие цены – вектором . Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: , . По аналогии с геометрическими векторами вводятся: сумма векторов с компонентами , ; разность векторов с компонентами , , с теми же свойствами. Скалярное произведение n-мерных векторов: . Если X - набор товаров, а Y - соответствует ценам за единицу каждого товара, то стоимость всем товаров: . Определение.Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения (вычитания) и умножения вектора на скаляр, удовлетворяющего приведенным выше свойствам называется векторным пространством.
Определение.Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства, если , (3.1.4) где - любые действительные числа.
Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация . В противном случае векторы ( ) называются линейно независимыми. Если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражается через остальные. Покажем это. Пусть векторы ( ) линейно зависимы, то есть и , тогда Верно и обратное утверждение: если один из векторов выражается через остальные, то все векторы в совокупности линейно зависимы. Для векторного пространства имеет место следующее свойство: если среди m векторов какая-то часть векторов являются линейно зависимыми, то все m векторов линейно зависимы. Определение.Векторное пространство называется n-мерным, если в нем существует ровно n линейно независимых векторов, а любые из ( ) векторов уже линейно зависимы. Это число n называется размерностью пространства.
Определение.Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства называется базисом. Для базисных векторов принято обозначение . Справедлива следующая теорема. Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства можно представить, причем единственным образом, как линейную комбинацию базисных векторов , то есть . ( 3.1.5) Доказательство.Пусть векторы образуют некоторый базис n-мерного пространства. Тогда с любым вектором добавленным ( )-м вектором Х получаем совокупность линейно зависимых векторов. Это означает, что ( ), следовательно Обозначим , откуда , что и требовалось доказать. Можно доказать, что полученное разложение является единственным.
Пример. Даны векторы е1 , е2 , е3 , . Разложить вектор по базисным векторам : запишем разложение вектора . Перейдем к координатной форме Перейдем к системе уравнений Решив систему любым методом (например, методом Крамера), получим ее решение: , , . Разложение вектора по базису имеет вид .
Собственные векторы и собственные значения матрицы. Определение.Вектор называется собственным вектором квадратной матрицы , если существует такое число λ, что выполняется условие . (3.1.6) Число λ называется собственным значением (числом) матрицы, соответствующим вектору Х.
Из определения следует, что при умножении матрицы А на вектор Х получается вектор, коллинеарный вектору Х. Равенство (3.6) перепишем в матричной форме. , тогда равенство (3.1.6) переходит в систему линейных уравнений или (3.1.7)
В матричной форме система (3.1.7) имеет вид . Чтобы однородная система (3.1.7) (или матричное уравнение (3.1.6)) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель , то есть (3.1.8)
Определитель представляет собой многочлен n-ой степени относительно λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы А,а уравнение (3.1.8) характеристическим уравнением матрицы А. Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы . Решение.Составим характеристическое уравнение или Находим собственные векторы (см. ) а) для собственного числа
Оба уравнения совпадают. Одно следует отбросить. Система имеет бесчисленное множество решений. Положив , получаем . Собственному значению соответствует собственные векторы . б) Аналогично находится вторая совокупность собственных векторов . В частности, это могут быть векторы и .
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2276)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |