Линейная функция. Различные уравнения прямой
Пусть прямая L проходит через точку и образует с положительным направлением оси Ох угол α ( ). Возьмем на прямой точку . Очевидно, . (4.1)
Обозначим и назовем угловым коэффициентом прямой L. Из (4.1) получаем: y-y1=k(x-x1) (4.2) Можно показать, что уравнение (4.2) справедливо и для случая . Уравнение (4.2) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Если в уравнении (4.2) k – произвольное число, то уравнение (4.2) определяет пучок всевозможных прямых (кроме вертикальной прямой), где точка - центр пучка (рис. 4.34). Пусть известно, что прямая, имеющая угловой коэффициент , отсекает на оси Оу отрезок, равный b, то есть проходит через точку B(0,b). Используя уравнение (4.2) получаем уравнение: y=kx+b, (4.3) которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Поведение прямой определяется параметрами k и b. 1. , , прямая проходит через начало координат. 2. , , прямая параллельна оси Ох. 3. , , - уравнение оси Ох. (рис. 4.36)
Пусть даны две точки и , через которые проходит прямая и , (рис. 4.37). Угловой коэффициент этой прямой . Подставим его в уравнение (4.2) и получим: или . (4.4) Получено уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Пусть прямая параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок, равный а. Очевидно, для любойточки М, принадлежащей прямой L, абсцисса: х=а (4.5) Получено уравнение вертикальной прямой. Уравнения (4.2)-(4.5) показывают, что любая прямая описывается линейным уравнением (линейной функцией). Покажем, что всякое линейное уравнение (4.6) определяет прямую на плоскости, если А и В одновременно не обращаются в ноль. 1. Пусть , тогда . Обозначим , . Тогда уравнение (4.6) принимает вид , то есть определяет прямую. 2. , , получаем , или . Обозначим . Получим уравнение , но это уравнение определяет вертикальную прямую (4.5). 3. , тогда - уравнение оси Ох; , тогда - уравнение оси Оу.
Таким образом, при любых значениях коэффициентов А и В и свободного члена Суравнение (4.6) определяет прямую линию на плоскости хОу. Оно называется общим уравнением прямой на плоскости.
Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Пусть известны угловые коэффициенты прямых L1 и L2, равных k1 и k2 соответственно, , (рис. 4.39).
Угол между прямыми , при этом , . Тогда , откуда получаем ,где стрелка означает, что угол получается при повороте прямой L1 к прямой L2 против часовой стрелки. Если прямые параллельны, то есть , то , следовательно k1=k2 - условие параллельности прямых. Если прямые перпендикулярны, то , (не существует). Для этого должно выполняться условие или k1k2=−1, откуда k1=−1/k2 - получено необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых. ;
Примеры. 1. Написать уравнение пучка прямых, проходящих через точку . Выбрать из этого пучка прямые, составляющие с осью Ох углы: а) 45°; б) 60°.
Решение. Запишем уравнение пучка прямых с центром в точке а) для прямой (АВ) угловой коэффициент б) для прямой (АС) уравнение прямой (АВ) уравнение прямой (АС)
2. В треугольнике с вершинами А(−2;0); В(2;6) и С(4;2). Найти уравнения высоты, проведенной из вершины В, и медианы, проведенной из вершины В.
Решение. ; . а) уравнение BD будет искать как прямую, проходящую через данную точку В(2;6), тогда ее уравнение , так как , то угловые коэффициенты этих прямых удовлетворяют условию . Угловой коэффициент АС найдем по двум точкам , тогда Уравнение высоты (ВD): , или б) Чтобы найти уравнение медианы (ВЕ) найдем координаты точки Е, являющейся серединой отрезка АС. ; Используя уравнение прямой, проходящей через две точки: В(2;6)и Е(1;1) ; , откуда получается ее уравнение медианы (ВЕ):
Функция у=|х|.
По определению
Функция задается двумя различными аналитическими выражениями.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (771)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |