Система линейных уравнений
Системы линейных уравнений представляют один из важнейших разделов линейной алгебры. Они являются одним из основных инструментов моделирования экономических процессов. Цель - обобщение понятия системы линейных уравнений (в том числе, когда число уравнений m не совпадает с числом неизвестных n); знакомство с матричной формой записи системы линейных уравнений. Задача -знакомство с различными способами решения систем (преимущества и недостатки каждого из способов). В результате изучения темы студент должен уметь ответить на вопросы: а) совместна система или нет; б) уметь решить любым способом, если она совместна. 3.2.1. Основные понятия и определения 3.2.2. Системы n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера. 3.2.3. Метод Гаусса. 3.2.4. Системы m линейных уравнений с n переменными. Метод последовательного исключения неизвестных. Основные понятия и определения. Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид: a11x1+a12x2+a13x3+…+a1jxj+ …+a1nxn =b1 a21x1+ a22x2+a23x3+…+a2jxj+ …+a2nxn =b2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3.2.1) ai1x1+ ai2x2 +ai3x3+… +aijxj+…+ainxn =bi - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - am1x1+am2x2+am3x3+…+amjxj+…amnxn =bm где aij – постоянные числа, называемые коэффициентами системы, bi – постоянные числа, называемые свободными членами (i=1,m, j= ). В краткой форме систему (3.2.1) можно записать в форме следующим образом: n ∑ aijxj = bi , (1≤i<m) j=1 Совокупность чисел (x10, x20, …xno) называется решением системы(3.2.1), если после подстановки в каждое уравнение системы обращает его в верное равенство. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Две системы называются равносильными (эквивалентными), если решение одной из них является решением другой и наоборот. С системой (3.2.1) можно проводить элементарные преобразования, подобные элементарным преобразованиям матриц (сложение уравнений, перестановку уравнений, умножение обеих частей уравнений на некоторое число), получая при этом системы эквивалентные системе (3.2.1). Составим матрицу А=(аij)mxn из коэффициентов системы (3.21)
а11 а12… а1n A = аi1 ai2 …. ain - - - - - - - - - am1am2 …amn mxn
и введем столбцевые матрицы из неизвестных и свободных членов x1b1 x2 b2 - - Χ= - ; B= - - - xn nx1 bn nx1
Найдем произведение матриц АХ
а11 а12… а1n x1 а11 x1+ а12 x2+…+ а1n xn а21 а22… а2 nx2а21 x1+ а22 x2+…+ а2 nxn - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - АХ= аi1 ai2 … ain - = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - am1 am2 …amn xn am1 x1+ am2x2+…+ amnxn
Получена столбцевая матрица, элементы которой совпадают с левыми частями системы (3.2.1). Причем эти элементы равны соответствующим элементам матрицы В. А это означает, что матрицы АХ и В так же равны, т.е. (3.2.2)
Получена матричная запись системы (3.2.1) или матричное уравнение. Если ввести векторы a1j b1 a2j b2 Aj= - B= - - - amj bm то систему (3.2.1) можно записать в векторной форме n A1x1+A2x2+…+Anxn=∑ Ajxj = B j=1
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (655)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |