Расчет трехшарнирных арок и рам

Арка – древнейшая конструкция. Зодчие уже до новой эры понимали, что арочной конструкцией можно перекрывать большие пролеты, чем конструкцией балочной. Попытки создать теорию расчета арок были осуществлены еще в XVIII веке.. Во всех работах того времени рассматривалось не рабочее, а предельное состояние арок, непосредственно предшествующее ее разрушению. Обычно не делали различия между статически определимыми и статически неопределимыми арками. Расчет статически определимых трехшарнирных арок и рам сформировался уже в XIX веке, когда смысл условий равновесия стал ясен не только теоретикам – механикам, но и рядовым инженерам.

Трехшарнирной называют стержневую систему, состоящую из двух элементов, соединенных шарниром, и прикрепленных к основанию при помощи двух неподвижных шарнирных опор. Если элементы имеют криволинейное очертание, то говорят о трехшарнирных арках (рис.1.3с₁). В трехшарнирной раме элементы имеют ломаное очертание (рис1.3с₂ ).

Основная особенность таких расчетных схем состоит в том, что при действии вертикальной нагрузки в опорах кроме вертикальных опорных реакций возникают и горизонтальные составляющие, называемые распорами.

Рассмотрим арку, у которой опоры располагаются на одном уровне, а промежуточный шарнир - над серединой пролета(рис.3.1 a ). Расстояние между опорами, как и в балке, назы

вают пролетом. Расстояние от линии опор до про-межуточного шарнира С на-

зывают стрелой подъема арки.(Шарнир С, вообще говоря, может соединять элементы в любом месте на оси арки)

Рис 3.1

Нетрудно показать, что такая шарнирная система геометрически неизменяема Действительно, степень ее свободы (см. формулу 1.2) равна нулю:

W = 3 (1.3)

На схеме арки легко просматриваются “шарнирные треугольники” , обеспечивающие геометрическую неизменяемость системы.

Расчет арки начинают с определения опорных реакций. Искомые реакции показаны на рис.3.1 a .

Вертикальные опорные реакции определяются из уравнений равновесия как в балке с пролетом , равным пролету арки (рис.3.1 b )

1) ; F₁ a₁ + F₂ a₂ - F₃ y₃ - V_B l = 0,

V_B = ; (2.3)

2) V_A l – F₁ (l – a₁ ) – F₂ (l – a₂ ) + F₃ y₃ = 0,

V_A = (3.3)

( Опорные реакции верны, если удовлетворяется уравнение равновесия )

Для определения распора ( горизонтальной составляющей на одной из опор) используют дополнительное условие равновесия : равенство нулю суммы моментов всех сил, действующих на одну из половин арки.

3) или

Раскрывая первое условие, найдем Н_А .

V_A

(4.3)

Распор H_B находят, проектируя все силы , действующие на арку, на ось x

4) , т.е

Рассматривая последнее равенство, можно заключить, что, если на арку действует лишь вертикальная нагрузка, то распоры на обеих опорах одинаковы

(5.3)

Выведем формулы для определения внутренних усилий в произвольном сечении трехшарнирной арки с координатами a_К и y_К. (Эти формулы, как увидим впоследствии, годятся в расчетах и любых статически неопределимых арок.)

На рисунке 3.2 показаны расчетные усилия: М –изгибающий момент, Q – поперечная сила ( проекция всех левых( или правых) Рис.3.2

сил на нормаль к оси арки в рассматриваемом сечении) и N – продольная сила( проекция всех левых ( или правых) сил на касательную к оси арки в рассматриваемом сечении.

Составим выражение для изгибающего момента в сечении

М_К = [V_A a_R – F₁(a_K – a₁) – F₂(a_K –a₂)] – H_A y_K.

Выражение в квадратных скобках – это изгибающий момент в сечении К простой балки с пролетом равным пролету арки (рис. 31 b ). Обозначим его М_К⁰ . Тогда

М_К = М_К⁰ - Н_А y_К. (6.3)

Из формулы (6.3) следует, что изгибающие моменты в арке значительно меньше изгибающих моментов в балках того же пролета с той же нагрузкой.

Опираясь на определение поперечной силы и соблюдая правило знаков, принятое в сопротивлении материалов, составим следующее выражение (см.рис.32)

Q_K = [ V_А - F₁ -F₂ ] - H_A .

Выражение в квадратных скобках есть ничто иное, как поперечная сила в сечении К балки с пролетом, равным пролету арки. Обозначим ее Q_K⁰ . Тогда

Q_K = Q_K⁰ - H_A (7.3)

Следовательно, и поперечные силы в арке меньше ,чем в соответствующей балке.

Замечание. Если сечение находится на правой половине арки, то отрицательный по определению.

Проектируя все силы, расположенные слева от сечения, на касательную к оси арки и памятуя о том что силы, направленые “к сечению” – cжимающие, получим

N_K = - [V_A – F₁ –F₂] - H_A или

N_K = - (Q_K⁰ + H_A ) (8.3)