Теоретические сведения. Леонардом Эйлером в 1755 г
Леонардом Эйлером в 1755 г. были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости
(2.1) где – градиенты давления в направлении соответствующих координатных осей; X, Y, Z – проекции единичных массовых сил на соответствующие оси; r – плотность. После незначительных преобразований данную систему уравнений можно представить в виде уравнения:
(2.2) Полученное уравнение (2.2) выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy, dz в общем случае равновесия жидкости. Поверхность жидкости, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня. Для поверхности равного давления , а с учетом, что , уравнение (2.2) примет вид (2.3)
Уравнение (2.3) устанавливает связь между координатами свободной поверхности и действующими на жидкость массовыми силами, единичные проекции которых равны X, Y, Z. Поверхности уровня жидкостей, соприкасающиеся с газообразной средой (чаще атмосферной), называются свободными поверхностями. Комбинация массовых сил, действующих на жидкость, может быть разной. Если жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли (т. е. вращением жидкости вместе с Землей можно пренебречь), то такое равновесное состояние жидкости можно назвать абсолютным покоем. При абсолютном покое жидкость находится под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на жидкость кроме сил тяжести действуют силы инерции. Силы инерции могут быть постоянны по времени, поэтому равновесие жидкости в этом случае называется относительным покоем. При относительном покое свободная поверхность жидкости, или поверхность уровня, принимает другие формы по сравнению с формой при абсолютном покое. Рассмотрим формы поверхности равного давления и свободные поверхности жидкости при разных комбинациях массовых сил. Случай 1. Жидкость находится под действием только силы тяжести. При условии, что ось z направлена вертикально вверх, проекции силы тяжести на ось x Х = 0; на ось y Y = 0; на ось z Z = – g. Дифференциальное уравнение (2.3) в этом случае примет вид
(2.4)
или после интегрирования
. (2.5)
Уравнение (2.5) является уравнением горизонтальной плоскости, форму которой имеют все поверхности равного давления и свободная поверхность, когда на жидкость действует только сила тяжести (рис. 2.1). Случай 2. Жидкость находится в сосуде, который движется прямолинейно, равномерно ускоренно. На жидкость в этом случае действуют не только силы тяжести, но и силы инерции, которые характеризуются ускорением а и направлены противоположно движению. Проекции этих единичных сил на соответствующие координатные оси равны:
.
Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид
(2.6)
или после интегрирования
(2.7)
Уравнение (2.7) является уравнением наклонной плоскости (рис. 2.2), угол наклона которой к горизонту b определяется отношением
(2.8) Случай 3. Жидкость находится в сосуде, который равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w (рис. 2.3). В этом случае на жидкость действуют помимо силы тяжести и центробежные силы. Проекции ускорения этих сил на координатные оси соответственно равны: X = w2 x, Y = w2 y, Z = – g. Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид , (2.9)
или после интегрирования
; (2.10)
(2.11)
С учетом того, что
(2.12)
окончательно получим
(2.13) Уравнение (2.13) является уравнением параболоида вращения, который в сечении вертикальными плоскостями дает параболы, а в горизонтальной плоскости – окружности. Положение любой точки свободной поверхности, например точки В (рис. 2.4), определяется координатой
(2.14)
где rB – радиус точки В. Самой высокой точкой свободной поверхности является точка на стенке резервуара D (рис. 2.4). Ее координата соответственно будет равна
(2.15)
где R – радиус резервуара.
Рис. 2.4. Определение координат свободной поверхности
Одновременно координата zD является высотой параболоида вращения. По отношению ко дну точка D как самая высокая точка свободной поверхности находится на расстоянии
(2.16)
Самой низкой точкой параболоида вращения является точка О на оси цилиндра (начало координат). Точка О соответствует максимальному понижению свободной поверхности по оси резервуара относительно статического уровня Н. Ее расстояние от дна резервуара
(2.17)
Следовательно, при вращении жидкость поднимается у стенки и опускается по оси резервуара по отношению к статическому уровню на одну и ту же величину . При большой угловой скорости вращения возможно оголение дна, а при недостаточной высоте стенки – переливание жидкости через нее. Значение избыточного давления внутри жидкости при вращении согласно уравнению (2.13) определится по формуле
(2.18)
где ri – радиус рассматриваемой i-й точки; zi – расстояние от начала координат до рассматриваемой i-й точки (рис. 2.4). Самое малое избыточное давление на дно будет по оси вращения в центре резервуара:
. (2.19)
Самое большое избыточное давление на дно возникает у стенки:
(2.20)
Эпюра избыточного давления на дно и стенки резервуара приведена на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Эпюры давления
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (793)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |