Расчетно-графическая работа №9

«Расчет на прочность при изгибе»

Теоретическое обоснование. Прямым чистым изгибом называют такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - изгибающий момент. Если кроме изгибающего момента возникает поперечная сила, то имеет место прямой поперечный изгиб.

Брусья, работающие на изгиб, называют балками. На расчетной схеме балку принято заменять ее осью. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме значений внешних сил, приложенных к балке по одну сторону от сечения. При этом силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс, а силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки против хода часовой стрелки, приписывается знак минус.

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно той точки оси бруса, при этом внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс, а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх, - знак минус.

При построении эпюр и рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1)найти опорные реакции (для консоли их можно не находить);

2)разбить брус на участки, границами которых являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы и пары и начинается или заканчивается распределительная нагрузка. Такие сечения принято называть характерными;

3)применяя метод сечений, построить эпюру поперечных сил. Если поперечная сила, изменяясь непрерывно, проходит через нулевое значение, то необходимо определить абсциссу сечения, где обращается в нуль;

4)вычислить в характерных сечениях значения изгибающих моментов и по найденным ординатам построить эпюру .

Балки рассчитывают на прочность по наибольшим нормальным напряжениям, возникающим в их поперечных сечениях. При поперечном изгибе балок наряду с нормальными возникают и касательные напряжения, обусловленные наличием поперечной силы, но они в подавляющем большинстве случаев невелики и при расчетах на прочность не учитываются.

Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений на растяжение и сжатие, установленных нормами или опытом проектирования для материала балки.

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению или сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой.

Прочность балки обеспечена, если наибольшие по абсолютному значению нормальные напряжения, возникающие в опасном сечении, не превышают допустимых. Наибольшие нормальные напряжения возникают в точках опасного поперечного сечения, максимально удаленных от нейтральной оси. Эти точки принято называть опасными.

Условие прочности балки из пластичного материала имеет вид

Исходя из которого выполняют три вида расчетов.

Проектный расчет.

Приняв = , по изгибающему моменту М_и в опасном сечении находят требуемое значение момента сопротивления:

Для поперечного сечения

Для круглого сечения

Затем, исходя из принятой для балки формы поперечного сечения, находят его размеры.

2)Расчет допускаемой нагрузки выполняется при по формуле

Затем, исходя из схемы нагружения балки, находят допускаемое значение нагрузки.

 

3)Проверочный расчет.Определив максимально изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят по формуле значения и сравнивают его с .

Наиболее выгодны такие формы сечений, которые дают наибольший момент сопротивления при наименьшей площади. Такому условию удовлетворяет двутавровое сечение, у которого почти весь материал отнесен от нейтральной оси к верхней и нижней полкам. Это увеличивает момент инерции , соответственно и момент сопротивления . Менее выгодно прямоугольное сечение; круглое сечение ещё менее выгодно, так как оно расширяется к нейтральной оси. Полые сечения всегда выгоднее равновеликих им сплошных сечений.

Целесообразно применять сечения балок из прокатных профилей: двутавров, швеллеров и т.п.

 

Алгоритм решения

1. Определить реакции опор балки, а затем обязательно проверить правильность решения

2. Построить эпюру поперечных сил

3. Построить эпюру изгибающих моментов (использовать метод построения по характерным сечениям)

4. По эпюре изгибающих моментов определить расчетный (наибольший по абсолютному значению) изгибающий момент

5. Определить требуемый момент сопротивления поперечного сечения балки

6. По найденному значению рассчитать размеры прямоугольного и круглого сечения балки, также с помощью таблиц соответствующих ГОСТов подобрать необходимый номер профиля двутавра или швеллера.

Вариант А Для двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и, исходя из условия прочности при , подобрать необходимый размер сечения для двутавра, двух швеллеров и круга. Принять: ; ;

Вариант Б Для двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов. Подобрать: а) сечение стальной балки для двутавра и швеллера, круглого и прямоугольного сечения , приняв . Определить отношение массы балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения. Также подобрать необходимые размеры (b, h или d) сечения деревянной балки , составленного либо из двух прямоугольников , либо из двух круглых брусьев. Принять: ;

ЗАДАНИЕ

ЗАДАЧА

 

 

вар	№ схемы	F	вар	№ схемы	F	вар	№ схемы	F	вар	№ схемы	F

 

 

 

 

 

Пример выполнения

Задача

Для двухопорной балки определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов. Подобрать:

а) сечение стальной балки для двутавра и швеллера, круглого и прямоугольного сечения , приняв . Определить отношение массы балок прямоугольного и круглого сечения к массе балки двутаврового сечения.

Также подобрать необходимые размеры (b, h или d) сечения деревянной балки , составленного либо из прямоугольника , либо из круглых брусьев. Принять: ;

 

 

Решение.

 

 

1)Заменяем опоры реакциями опор, имеем: и .

2)Определяем опорные реакции.

 

 

 

3)Разбиваем балку на участки , имеем два участка. Применяя метод сечений определяем поперечную силу и момент изгибающий на каждом участке.

сечение I-I (балку рассматриваем слева направо)

Уравнение "0" степени, графиком является прямая параллельная оси, для построения которой достаточно 1 точка.

Уравнение "1" степени, графиком является наклонная прямая, для построения которой достаточно две точки:

при

при

сечение II-II (рассматриваем балку справа налево)

Уравнение "1" степени, графиком является наклонная прямая, для построения которой достаточно две точки:

при

при

Уравнение "2" степени, графиком является парабола, для построения которой достаточно знать три точки.

при

при

при

 

 

 

4)Из условия прочности

определяем осевой момент сопротивления

5)Подбираем сечения балки в следующих вариантах:

- двутавр N24

- швеллер N27

-круг

- прямоугольник

6) Определяем отношение масс, равное отношению площадей сечений:

Следовательно, балка прямоугольного сечения тяжелее двутавровой балки в 3,15 раза, а балка круглого сечения тяжелее двутавровой в 4,42 раза

7) Считая балку деревянной, из условия прочности

из ее правой части, определяем момент сопротивления

8)Подбираем сечения балки для двух круглых сечений, т.е.

 

Контрольные вопросы.

1. Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса при прямом поперечном изгибе?

2. Как следует нагрузить брус, чтобы получить: а) прямой изгиб; б)поперечный прямой изгиб?

3. Что такое чистый и поперечный изгиб? Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечных сечениях бруса в этих случаях?

4. Каким методом определяются внутренние силовые факторы, действующие в поперечных сечениях при изгибе?

5.. Чему равны поперечная сила и изгибающий момент в произвольном сечении балки при изгибе?

6. Что называется поперечной силой в поперечном сечении бруса и чему она численно равна?

7. Что называется изгибающим моментом в поперечном сечении бруса и чему он численно равен?

8. Какими дифференциальными зависимостями связаны между собой изгибающий момент, поперечная сила, интенсивность равномерно распределенной нагрузки?

9. Каков характер деформаций, возникающих при изгибе?

10. Что такое осевой момент сопротивления и каковы его единицы?

11. Какие виды расчетов можно производить из условия прочности при изгибе?

12. Какие формы поперечных сечений рациональны для балок из пластичных материалов?

13. Напишите формулы для определения осевых моментов сопротивления при изгибе для прямоугольника, круга, кольца и квадрата

14. Балка работает на изгиб и выполнена из материала, неодинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию. Какое сечение в этом случае считается рациональным и почему?

 

 

СР №15