Задачи для аудиторных занятий

Омский государственный технический университет

 

 

Т. А. Аронова, С.В. Данилов, В.П. Шабалин

 

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМУ

 

Учебно-практическое пособие

 

Омск – 2003

 

УДК 53(075)

ББК 22.3я7

А84

 

Рецензенты:

В. И. Блинов, канд. физ.– мат. наук, ОмГУ

В.И. Дубовик, канд. физ.– мат. наук, ОмГУ

 

Аронова Т. А., Данилов С.В., Шабалин В.П.

 

А84 Сборник задач по электромагнетизму: Учеб.– практ. пособие. Омск:

Изд-во ОмГТУ, 2003 – 108 с.

 

Состоит из семи тем по электромагнетизму. Каждая тема содержит сводку формул, примеры решения задач, набор аудиторных задач. Дано 25 вариантов индивидуальных заданий для самостоятельного решения.

Предназначено для студентов радиотехнического факультета, обучающихся по специальностям 200800 «Проектирование и технология электронных средств», 20070 «Радиотехника», 2205000 «Конструирование и технология ЭВС».

 

 

© Авторы, 2003

© Омский государственный

технический университет, 2003

 

 

Содержание

1. Методы расчета электростатических полей…………………………………... 1.1. Основные формулы ………………………………………………………. 1.2. Примеры решения задач………………………………………………….. 1.3. Задачи для аудиторных занятий…………………………………………. 1.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 2. Электроемкость. Энергия электростатического поля………………………... 2.1. Основные формулы…..………………………………………………………. 2.2. Примеры решения задач……………………………………………………... 2.3. Задачи для аудиторных занятий……………………………………………... 2.4. Задачи для самостоятельного решения……………………………………... 3. Законы постоянного электрического тока…………………………………….. 3.1. Основные формулы……………………………………………………….. 3.2. Примеры решения задач………………………………………………….. 3.3. Задачи для аудиторных занятий………………………………………….. 3.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 4. Работа и мощность тока………………………………………………………… 4.1. Основные формулы……………………………………………………….. 4.2. Примеры решения задач………………………………………………….. 4.3. Задачи для аудиторных занятий………………………………………….. 4.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 5. Методы расчета магнитных полей…………………………………………….. 5.1. Основные формулы……………………………………………………….. 5.2. Примеры решения задач …………………………………………………. 5.3. Задачи для аудиторных занятий………………………………………….. 5.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………….. 6. Силы магнитного поля. Работы сил магнитного поля………………….……. 6.1.Основные формулы……………………………………………………….. 6.2. Примеры решения задач…………………………………………………… 6.3. Задачи для аудиторных занятий…………………………………….……. 6.4. Задачи для самостоятельного решения…………………………………… 7. Явление электромагнитной индукции………………………………………… 7.1. Основные формулы……………………………………………………….. 7.2. Примеры решения задач………………………………………………….. 7.3. Задачи для аудиторных занятий………………………………………….. 7.4. Задачи для самостоятельного решения………………………………….. Варианты домашних заданий……………………………………………………... Библиографический список……………………………………………………….

 

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Основные формулы

1. Сила взаимодействия двух точечных зарядов (закон Кулона)

где k = 1/4πε₀ = 9^.10⁹ Н∙м²/Кл² – коэффициент системы СИ, ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная вакуума: ε₀ = 8,85^.10^-12 Ф/м.

2. Сила, действующая на заряд со стороны электрического поля напряженностью Е:

.

3. Напряженность и потенциал в точке электростатического поля

,

где F – сила, действующая со стороны поля на пробный заряд, а W_п – его дополнительная потенциальная энергия.

4. Напряженность и потенциал точечного заряда q

,

где r – расстояние от заряда до точки наблюдения.

5. Принцип суперпозиции для системы точечных зарядов:

,

… .

6. Принцип суперпозиции для непрерывно распределенных зарядов

,

, где

причем dq = τ×dℓ, dq = σ×dS, dq = ρ×dV, где τ, σ, ρ – линейная, поверхностная и объемная плотности заряда соответственно.

7. Связь напряженности с потенциалом:

.

8. Теорема Гаусса: поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на величину εε₀:

.

 

 

Примеры решения задач

Задача 1.В вершинах квадрата находятся равные отрицательные зарядыq, а в центре – положительный зарядq₀= 2,2 нКл. Какой должна быть величина отрицательных зарядов, чтобы вся система находилась в состоянии равновесия?

Дано: q0 = 2,2.10-9 Кл q1, q2, q3, q4 -?

Решение Физическая система состоит из пяти взаимодействующих точечных зарядов, которые расположены в вершинах и находятся в одинаковых условиях. Запишем условие равновесия заряда, находящегося в вершине. В соответствии с принципом суперпозиции на этот заряд будет действовать каждый заряд независимо от действия остальных (рис. 1.1). Рис.1.1

Очевидно, чтоq₁ будет находиться в равновесии, если сумма действующих на него сил равна нулю:

(1)

Так как сила F₁₀ и равнодействующая трех других сил направлены вдоль одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным:

. (2)

Обозначим сторону квадрата через а, тогда диагональ квадрата равна , половина диагонали . С учетом этого, применяя закон Кулона, перепишем (2) в виде

,

откуда .

Подставим численные значения:

q = 1,155^.2,2^.10^-9 = 2,54^.10^-9Кл = 2,54 нКл.

 

Задача 2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами q₁ = 30 нКл и q₂= -10 нКл. Расстояние между зарядами d = 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии r₁ = 15 см от первого и на расстоянии r₂ =10 см от второго зарядов.

 

Дано: q1 = 30 нКл = 3.10-8 Кл q2 = -10 нКл = -10-8 Кл d = 20 см = 0,2 м r1 = 15 cм = 0,15 м r2 = 10 cм = 0,1 м Е-?

Решение     Рис. 1.2

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции, согласно которому напряженность поля Е в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей Е₁ и Е₂ полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

.

Напряженность, создаваемая первым зарядом:

(1)

вторым зарядом: (2)

Вектор Е₁ направлен от заряда q₁, так как заряд q₁ положителен; вектор Е₂ направлен к заряду q₂, так как заряд q₂ отрицателен.

Величину вектора Е найдем по теореме косинусов (рис.1.2)

, (3)

где a - угол между векторами Е₁ и Е₂, который с использованием теоремы косинусов может быть найден из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d:

(4)

Подставляя (1), (2), (4) в (3), получим

Вычислим результат:

Задача 3. Тонкий стержень длиной ℓ= 30 см (рис.1.3) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью τ = 1 мкКл/м. На расстоянии r₀ = 20 см от стержня находится заряд q₁ = 10 нКл. Заряд равноудален от концов стержня. Определить силу взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Дано: ℓ= 30 см = 0,3 м τ = 1 мкКл/м = 10-6 Кл/м r0 = 20 см = 0,2 м q1= 10 нКл = 10-8 Кл   F - ?

Решение Рис. 1.3

Физическая система состоит из точечного и линейно распределенного заряда стержня. Для решения задачи применим метод ДИ (дифференцирования и интегрирования). Для этого разделим стержень на столь малые элементы dℓ, чтобы заряд dq = τ^.dℓ можно было рассматривать как точечный. Тогда сила взаимодействия между зарядами q₁ и dq может быть определена по закону Кулона

, (1)

где r – расстояние от выделенного элемента до заряда q_1. Из рис. 1.3 следует, что

и .

Подставив эти выражения в (1), получим

. (2)

Далее разложим силу dF на нормальную и тангенциальную составляющие. Из рис.1.3 с учетом (2) видно, что

;

. (3)

Очевидно, что для нахождения силы необходимо проинтегрировать последние выражения (3). Поскольку положение выделенного заряда на стержне определяется углом α, этот угол и следует взять в качестве переменной интегрирования. Из рис.1.3 видно, что угол меняется в пределах от –β до +β. С учетом этого получим

. (4)

В силу симметрии расположение заряда q₁ относительно стержня интегрирование второго выражения дает ноль:

Таким образом, сила, действующая на заряд q₁, будет определяться выражением (4)

. (5)

Из рис.1.3 видно, что

(6)

Подставив (6) в (5), окончательно получим

Подставим числовые значения:

 

Задача 4.Тонкие стержни образуют квадрат со стороной ℓ. Стержни заряжены с линейной плотностью τ = 1,33 нКл/м. Найти потенциал φ в центре квадрата.

Дано: τ = 1,33 нКл/м = 1,33.10-9 Кл/м φ - ?

Решение По принципу суперпозиции потенциал поля, созданного в точке 0 всеми сторонами квадрата, равен сумме потенциалов полей, созданных каждой из этих сторон: φ = φ1 + φ2 + φ3 + φ4.

Поскольку стороны квадрата расположены симметрично относительно точки 0, то можно считать, что φ₁ = φ₂ = φ₃ = φ₄ и φ = 4φ₁. Следовательно, для нахождения φ достаточно найти потенциал φ₁ поля, созданного в точке 0 одной из сторон квадрата. Разобьем эту сторону на элементарные отрезки dℓ. Заряд, находящийся на каждом из них, dq = τ∙dℓ можно рассматривать как точечный, тогда

.

Рис. 1.4

Из рис.1.4 следует, что ,

тогда

Интегрируя полученное выражение от a₁ до a₂, получим потенциал φ₁:

Поскольку точка 0 расположена симметрично относительно углов квадрата, то a₁ = a₂ = π/4, поэтому

,

следовательно, .

Подставляя пределы интегрирования, получим для φ₁

Потенциал результирующего поля

После подстановки числовых значений получим

Задача 5. Лист стекла (ε = 7) толщиной d = 2 см равномерно заряжен с объемной плотностьюρ = 1 мкКл/м³. Определить напряженность Е электрического поля в точках А, В, С (рис. 1.5). Построить график зависимости Е(х).

 

Дано: ρ = 1 мкКл/м3 = 10-6 кг/м3 d = 2 см = 2.10-2 м ЕА, ЕВ, ЕС - ?

Решение Для решения задачи применим метод Гаусса. Из условия следует, что заряд, создающий поле, распределен в пространстве симметрично относи-тельно плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно оси Х. Поэтому есть основание утверждать, что электрическое поле симметрично относительно этой плоскости.

Рис. 1.5

Кроме того, полагая, что точки А, В, С достаточно удалены от краёв листа стекла, можно считать его бесконечным. Тогда линии напряженности в любой точке будут расположены параллельно оси Х.

Исходя из сказанного, будем выбирать гауссову поверхность в виде цилиндра, образующие которого параллельны оси Х, а основания перпендикулярны к ней и расположены от плоскости симметрии на равном расстоянии. Начало координат оси Х расположим в токе А.

Разобьем пространство на две области:

Первая область |Х|£d/2. Поток вектора напряженности через выбранную поверхность

Первый интеграл равен нулю, поскольку линии напряженности не пересекают боковую поверхность цилиндра. Второй и третий интегралы равны по признаку симметрии:

Заряд, попавший внутрь выбранной поверхности: q = ρ^.2х^.S_ОСН. Тогда по теореме Гаусса

откуда

Вторая область |Х|>d/2. Поток вектора напряженности через поверхность цилиндра (как в предыдущем случае)

N_E = 2ES_{ОСН .}

Заряд, попавший внутрь гауссовой поверхности: q = ρ×d×S_ОСН.

По теореме Гаусса

(ε = 1 вне листа стекла), тогда

 

Рис. 1.6

График зависимости проекции вектора напряженности на ось Х от координаты Х представлен на рис. 1.6 Отметим, что при переходе из стекла в воздух модуль вектора скачком увеличивается в ε раз.

 

Найдем теперь численные значения напряженности в точках А, B, С.

1. Е_А = 0 (х = 0).

 

2.

 

3. Е_С (два значения):

В/м.

Задача 6.Эбонитовый простой шар (ε = 3) радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью ρ = 10 нКл/м³. Определить напряженность электрического поляЕ в толчках (рис 1.7): 1) на расстоянии r₁ = 3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r₂ =10 см от центра сферы. Построить график зависимости Е(r).

 

Дано: ε = 3; R = 5 см = 5.10-2 м ρ = 10 нКл/м3 = 10-8 Кл/м3 Е-?

Решение Рис. 1.7

 

Применим метод Гаусса. Ввиду сферически симметричного распределения заряда ρ можно утверждать, что линии вектора в любой точке направлены вдоль радиусов из точки О, и модуль вектора имеет одинаковое значение на равных расстояниях от центра шара О. Следовательно, в качестве гауссовых поверхностей следует выбрать сферы радиусом r с центром в точке О.

Рассмотрим две области пространства:

Первая область: r ≤ R

Поток вектора напряженности через гауссову сферу

(1)

Заряд, попавший внутрь гауссовой сферы q = ρV^/, где V^/ - объём гауссовой сферы.

q = 4 πr³ ρ /3. (2)

Объединим выражения (1) и (2) теоремой Гаусса:

,

откуда _.

Вторая область: для точек, лежащих вне сферы, r > R. Поток вектора напряженности через сферу радиусом r (как и в предыдущем случае)

N_Е = E^.4πr².

Заряд, попавший внутрь сферы, - это весь заряд шара q = 4 πR³ρ/3.

,

_.

Построим график зависимости Е(r) (рис. 1.8).

Рис.1.8

Отметим, что на границе перехода из эбонита в воздух происходит скачок напряженности. Она увеличивается в e раз.

1.

2. Е(R) (два значения):

= 3E(R)₁ = 18,8 В/м.

3.

Задача 7.Сплошной парафиновый шар (ε = 2) радиусом 10 см равномерно заряжен с объемной плотностью1 мкКл/м³. Определить потенциал φэлектрического поля в центре шара и на его поверхности. Построить график зависимости φ(r).

Дано: ε = 2 R = 10 см =0,1 м ρ = 1 мкКл/м3 φ - ?

Решение Воспользуемся соотношением между напряженностью и потенциалом электростатического поля: = -grad φ. Поскольку поле шара обладает сферической симметрией, то соотношение можно записать в виде Е = -dφ/dr или - dφ = E.dr.

Интегрируя данное выражение, получаем:

Примем потенциал бесконечно удаленной точки за нуль. Тогда

, где φ_R – потенциал на поверхности шара, или .

Выражение для напряженности поля в пространстве, окружающем шар, возьмем из предыдущей задачи при условии, что r > R:

.

Разность потенциалов между центром шара и его поверхностью

.юц.

, где φ₀ – потенциал в центре шара. Тогда

Напряженность поля возьмем из предыдущей задачи при условии r < R.

.

График зависимости φ(r) представлен на рис.1.9. Найдем численные значения φ_R и φ_0:

j

 

 

j _R

 

 

R r

Рис. 1.9

Задачи для аудиторных занятий

 

1. Тонкий стержень длиной 10 см несет равномерно распределенный заряд 1 нКл. Определить потенциал электрического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии 20 см от ближайшего его конца.

Ответ: 36,5 В.

2. Три отрицательных заряда по 9 нКл каждый расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд нужно поместить в центре треугольника, чтобы система находилась в равновесии?

Ответ: 5,2 нКл.

3. В трех вершинах квадрата со стороной 1 м расположены заряды величиной –2; +4; -6 нКл. Найти напряженность в четвертой вершине.

Ответ: 43,56 В/м.

4. Круглая пластинка радиусом 8 см равномерно заряжена с поверхностной плотностью 150 мкКл/м². Определить напряженность поля в точке, лежащей на расстоянии 6 см от пластинки на перпендикуляре к плоскости пластинки, проходящем через её геометрический центр.

Ответ: 3,39 ^. 10⁶ В/м.

5. Металлический шар имеет заряд 0,1 мкКл. На расстоянии, равном радиусу шара от его поверхности, находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несёт равномерно распределенный по длине заряд 10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу, действующую на нить, если радиус шара 10 см.

Ответ: 150 мкН.

6. Нарисовать графики зависимости напряженности поля и потенциала от расстояния для следующего случая: бесконечный металлический цилиндр с радиусом 10 см имеет заряд 60 нКл, окружен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью, равной 2, причем диэлектрик простирается до расстояния 20 см.

7. Две концентрические металлические сферы радиусами 4 см и 10 см имеют соответственно заряды -2 нКл и 3 нКл. Пространство между сферами заполнено эбонитом (ε = 3). Определить потенциал φ электрического поля на расстояниях 2 см, 6 см и 20 см от центра сфер.

Ответ: 540 В, 500 В, 225 В.