Линейный, параболический, экспоненциальный, гиперболический, логарифмический тренды. Свойства тренда

Самым простым типом линии тренда является прямая ли­ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда: где - выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;

а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для t=0;

b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из­менения времени;

ti - номера моментов или периодов времени, к которым от­носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).

Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав­ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова­тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени.

Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф­метическим) масштабом на обеих осях.

Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:

• равные изменения за равные промежутки времени;

• если средний абсолютный прирост - положительная вели­чина, то относительные приросты или темпы прироста посте­пенно уменьшаются;

• если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели­чина, то относительные изменения или темпы сокращения по­степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;

• если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели­чина является по определению положительной, то среднее изме­нение b не может быть больше среднего уровня а;

• при линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.

Параболический тренд и его свойства. Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением

=a+b*t+c*t²

Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд­ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро­вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав­номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.

Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при­меняется для отображения таких тенденций динамики, кото­рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней.

Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та­ковы:

1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре­мени;

2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи­ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно­сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из­менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей: либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк­ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;

3) так как свободный член уравнения а как значение показа­теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:

а) при b >0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;

б) при b <0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;

в) при b > 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю­щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про­цессом;

г) при b <0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю­щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;

4) при параболической форме тренда, в зависимости от со­отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).

Экспоненциальным трендом называют тренд, выраженный уравнением: y_i=a*k^t_i. Свобод­ный член экспоненты а равен выровненному уровню, т.е. уров­ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t=0. Основной параметр экспоненциального тренда k является постоянным темпом изменения уровней (цен­ным). Если k>1, имеем тренд с возрастающими уровнями, при­чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо­ких порядков. Если k<1, то имеем тренд, выражающий тенден­цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс­понента не имеет и при стремится либо к при k > 1, либо к 0 при k<1.

Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви­вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос­та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы.

Основные свойства экспоненциального тренда:

1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ­ны самим уровням.

2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремит­ся к + , при k<1 тренд стремится к 0.

3. Уровни тренда представляют собой геометр про­грессию: уровень периода с номером t=т есть a*k^m.

4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина­мики в этих случаях рассмотрено в табл. 5 и 6.

из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую:

Если основной параметр гиперболы b>0, то этот тренд вы­ражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при .. Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.

Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4), при изу­чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, мате­риалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.

Если параметр b<0, то с возрастанием t, т.е. с течением вре­мени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при .Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии.

Основные свойства гиперболического тренда:

1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускоре­ние абсолютных изменений, темп изменения - все эти показате­ли не являются постоянными. При b>0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из­менения растут и стремятся к 100%.

2. При b<0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп­ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.

Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу­чае тенденцию такого процесса, показатели которого со време­нем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою.