Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь  


Глава 35. Уравнение поверхности




  Даны точки М1(2; -3; 6), M2(0; 7; 0), M3(3; 2; -4), M4( ; 4; -5), M5(1; -4; -4), M6(2; 6; ). Установить, какие из них лежат на поверхности, определенной уравнением , и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным уравнением?  
  На поверхности найти точку, для которой: 1). Абсцисса равна , ордината рана 2; 2). Абсцисса равна 2, ордината равна 5, 3). Абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4). Ордината равна 2, апликата равна 4.
  Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравениями в декартовых прямоугольных координатах пространства:
  887.1 ;
  887.2 ;
  887.3 ;
  887.4 ;
  887.5 ;
  887.6 ;
  887.7 ;
  887.8 ;
  887.9 ;
  887.10 ;
  887.11 ;
  887.12 ;
  887.13 ;
  887.14 ;
  887.15 ;
  887.16 ;
  887.17 ;
  887.18 ;
  887.19 ;
  887.20 .
  Даны две точки F1(-c; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии a>0, c>0; a>c. Задача 0888 Даны две точки F1(—с; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с.. Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами. Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда MF1 + MF2 = 2a (1) Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF1 и MF2 — через текущие координаты точки М: MF1 = , MF2 = . Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение (2) которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности. Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде. Уединим в уравнении (2) первый радикал: возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим: x2 + 2cx+с2+y2 + z2 =4а2 — 4а или а Снова, освобождаясь от радикала, найдём: a2x2 — 2a2cx + а2с2 + a2 y2 + a2 z2 = a4 — 2а2сх + с2x2, или (а2 — с2) х2 + a2y2 + a222 = а22 — с2). (3) Так как а > с, то а2 — с2 > 0; положительное число a2 — с2 обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид b2x2 + а2y + a2z2 = a2b2 или Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Урав­нение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.
  Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен r.
  Вывести уравнение сферы, центр которой C( , , ) и радиус которой равен r.
  Из точки P(2; 6; -5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места их середин.
  Из точки А(3; -5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxy. Составить уравнение геометрического места их середин.
  Из точки С(-3; -5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометрического места их середин.
  Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до точек F1(2; 3; -5), F2(2; -7; -5) есть величина постоянная, равная 13.
  Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух точек F1(-a; 0; 0), F2(a; 0; 0) равна постоянной величине .
  Вершины куба суть точки A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная .
  Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек M1(1; 2; -3), M2(3; 2; 1).
  Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух даных точек F1(0; 0; -4), F2(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.
  Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний от которых до двух данных точек F1(0; -5; 0), F2(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.     Глава 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей
  Даны точки M1(3; 4; -4), M2(-3; 2; 4), M3(-1; -4; 4), M4(2; 3; -3). Определить, какие из них лежат на линии , и какие не лежат на ней.
  Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:
  901.1 , ;
  901.2 , ;
  901.3 , .
  На линии , найти точку:
  902.1 абсцисса которой равна 3;
  902.2 ордината которой равна 2;
  902.3 апликата которой равна 8.
  Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
  903.1 , ;
  903.2 , ;
  903.3 , ;
  903.4 , ;
  903.5 , ;
  903.6 , ;
  903.7 , ;
  903.8 , ;
  903.9 , ;
  903.10 , ;
  903.11 , .
  Составить уравнения линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3.
  Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус раен 5, с плоскостью, параллельной плоскости Oxz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее.
  Составить уравненя линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(5; -2; 1) и радиус равен 13.
  Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат; другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; -2; 2).
  Найти точки пересечения поверхностей , , .
  Найти точки пересечения поверхностей , , .
           



Читайте также:
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...
Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1370)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.007 сек.)