Имеются данные о производстве деталей на заводе, тыс. штук

Центрированные средние наносят на график с эмпирическими данными.

Рис. 3. Динамика производства деталей на заводе, тыс. штук

Особенность способа сглаживания рядов динамики на основе скользящих средних заключается в том, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы определенная математическая закономерность.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. Оно основано на допущении, что изменения в рядах динамики могут быть выражены определенным математическим законом. На основе теоретического анализа выявляется характер явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа закономерности изменения явления:

- линейная функция

- полином второго порядка

- полином третьего порядка

- степенная функция

- показательная функция

и другие.

Данный прием сводится к следующему:

а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется его характер;

б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение;

в) определяются параметры уравнения;

г) рассчитываются теоретические (выровненные) уровни ряда динамики, которые наносятся на график эмпирических значений;

д) прогнозируются уровни динамического ряда на основе аппроксимирующей модели на предстоящий период.

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой (таблица 9). Задача аналитического выравнивания решается с помощью метода наименьших квадратов, смысл которого состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть

где y – исходные (эмпирические) уровни динамического ряда;

- расчетные (теоретические) уровни ряда динамики.

Выравнивание по прямой осуществляется по формуле:

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a и b – параметры уравнения,

t – время

Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:

Расчет параметров заметно упрощается, если перенести начало отсчета времени в середину исходного ряда (что бы ). Причем, если число уровней ряда нечетное, нумерация t следующая: …-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3…. ; а если число уровней ряда четное, нумерация t будет следующая: …-5, -3, -1, +1, +3, +5….

При условии, что St=0 (графа В таблицы 9) исходные нормальные уравнения принимают вид:

,

отсюда .

Необходимые величины рассчитаны в графах Г и Д таблицы 9.

Параметризованное уравнение имеет вид

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа Е таблицы 9), которые и являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными.

Таблица 9

Расчетная таблица для аналитического выравнивания ряда динамики по прямой

Год	Эмпирические уровни ряда (y)	Условные обозначения времени (t)	t2	y*t
А	Б	В	Г	Д	Е
		-4		-884	219,32
		-3		-705	241,24
		-2		-544	263,16
		-1		-285	285,08
					307,0
		+1			328,92
		+2			350,84
		+3			372,76
		+4			394,68
Всего

Рис. 4. Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики

Аналогично рассматриваются другие виды функций. При оценке параметров полиномов используется МНК, степенная и показательная функции приводятся к линейному виду путем линеаризации.

Критерием выбора параметризованного (лучшего для прогнозирования) уравнения является наименьшая ошибка аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.

Для выполнения прогноза в параметризованную модель подставляют перспективные значения t и получают расчетное значение . Поскольку рассматриваемые методы являются вероятностными, прогнозные значения должны рассчитываться с доверительным интервалом, определяемым по формуле:

D=tm

где D - предельная ошибка или доверительный интервал;

t – коэффициент доверия, соответствующий определенной вероятности, так для вероятности 0,954 t=2, для вероятности 0,997 t=3.

m - средняя ошибка или ошибка репрезентативности.

Ошибка репрезентативности определяется:

,

где - дисперсия y;

n - число уровней ряда.

Таким образом, прогнозные значения должны быть даны в интервале:

от ( -tm) до ( +tm).

Для нашего примера выполним прогноз на десятый год (t=5). Точечный прогноз составит: . Интервальный прогноз выполним с вероятностью 95,4% (коэффициент доверия равен 2), дисперсия равна . Отсюда ошибка репрезентативности:

Таким образом, прогнозные значения будут лежать в интервале:

.

Таким образом, с вероятностью 95,4% можно утверждать, что прогнозные значения будут находиться в интервале от 379 до 455 ед.